Cho đường tròn tâm ( O ) và dây BC cố định không đi qua O . Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho AB < AC . Kẻ đường kính AK , E là hình chiếu của C trên AK

a) Chứng minh bốn \(C,\,E,\,\,M,\,O\)cùng thuộc một đường tròn.

 cân tại \(O\), \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(OM\)vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao. Suy ra \(OM \bot BC \Rightarrow \widehat {OMC} = 90^\circ \)

Theo bài ra,  là hình chiếu của  trên  nên  .

Gọi \(I\) là trung điểm của \[OC\]

Dễ dàng chứng minh \(IO = IE = IM = IC\)

Do đó , , ,  cùng thuộc một đường tròn \(\left( I \right)\).

b) *Chứng minh \(AD.AK = AB.AC\)

Xét \(\Delta DBA\) và \(\Delta CK{\rm{A}}\) có

+) \(\widehat {ADB} = \widehat {ACK} = 90^\circ \)

+) \(\widehat {ABD} = \widehat {AKC}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Nên

Do đó ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AK}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Hay \(AD.AK = AB.AC\) (đpcm).

*Chứng minh \(\Delta MDE\)  cân.

Theo bài ra \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC\\AE \bot EC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ADC} = 90^\circ \\\widehat {AEC} = 90^\circ \end{array} \right.\) 

Gọi \[Q\] là trung điểm của \(AC\)

Dễ dàng chứng minh \(QA = QC = QD = QE\)

Suy ra bốn điểm \(A,\,C,\,D,\,E\)cùng thuộc đường tròn \(\left( Q \right)\)

Suy ra \(\widehat {CAE} = \widehat {CDE}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[CE\])  

Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(\widehat {CBK} = \widehat {CAE}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[CK\] )

Từ (1)  và (2)  suy ra  mà hai góc này ở vị trí đồng vị   (3)

Suy ra  

Xét đường tròn \(\left( I \right)\)có: \(\widehat {EMC} = \widehat {EOC}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn ).  (4)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\)có:\(\widehat {KBC} = \frac{1}{2}\widehat {KOC}\) (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ). (5)

Từ (3); (4) và (5) suy ra: \(\widehat {EMC} = 2\widehat {CDE}\).

\(\Delta MDE\)có \(\widehat {EMC} = \widehat {MDE} + \widehat {MED}\) (góc ngoài của tam giác) mà  \(\widehat {EMC} = 2\widehat {MDE}\)

Nên \(\widehat {MDE} = \widehat {MED}\). Do đó, \(\Delta MDE\) cân tại \(M\).

c) Chứng minh khi \(A\) di chuyển trên cung lớn \(BC\) thì tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DEF\) là 1 điểm cố định.

Gọi \(P\) là trung điểm của \(BO\)

Dễ dàng chứng minh được \(PB = PO = PF = PM\)

Suy ra bốn điểm \(O,M,B,F\) cùng thuộc đường tròn \(\left( P \right)\)

Nên \[\widehat {OBM} = \widehat {MFO}\]  (Hai góc nội tiếp cùng chắn ).

Xét đường tròn \(\left( I \right)\)có: \[\widehat {MEO} = \widehat {MCO}\] \[CK\] (Hai góc nội tiếp cùng chắn).

Mà \[\widehat {OBM} = \widehat {OCM}\](\[\Delta OCB\]cân tại \[O\].

Do đó \[\widehat {MFO} = \widehat {MEO}\] \[ \Rightarrow \Delta EMF\]cân tại  \[M \Rightarrow ME = MF\]

Mà \[ME = MD\] (Tam giác \[MDE\]cân tại \[M\]).

Suy ra:\[MD = ME = ME\].

Suy ra \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DEF\).

Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\)nên \(M\) là điểm cố định.

Vậy khi \(A\) di chuyển trên cung lớn \(BC\)thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DEF\)là một điểm cố định.