Cho đường tròn tâm O và BC là dây cung không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho M không trùng với B. Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (O) đã cho tại N và P

a) Gọi I là giao điểm của OA và NP

Ta có độ dài cung AN bằng độ dài cung AP nên suy ra AN = AP

Và ON = OP = R.

=> OA là đường trung trực của đoạn thẳng NP

=> OA ⊥ NP tại I

=> AID^=90°⇒ADI^=90°−IAD^

Hay ADP^=90°−OAB^

Lại có: OA = OB => ∆OAB cân tại O.

⇒OAB^=180°−AOB^2=90°−AOB^2

Suy ra ADP^=90°−90°−AOB^2=AOB^2

Mà MDB^=ADP^ (Hai góc đối đỉnh) ⇒MDB^=AOB^2

Đường tròn (O) có:  là góc nội tiếp chắn cung AB và  là góc ở tâm chắn cung AB nên suy ra: ACB^=AOB^2⇒ACB^=MDB^

Hay ECB^=MDB^

Tứ giác BNDC có ECB^+EDB^=MDB^+EDB^=MDE^=180°

Suy ra BNDC là tứ giác nội tiếp.