Cho đường tròn tâm (O ; R) đường kính PQ. Gọi D là trung điểm của đoạn OQ, từ D kẻ dây AB của đường tròn (O) vuông góc với đường kính PQ. Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ AP, dây MQ cắt dây AB

7/9

Cho đường tròn tâm (O ; R) đường kính PQ. Gọi D là trung điểm của đoạn OQ, từ D kẻ dây AB của đường tròn (O) vuông góc với đường kính PQ. Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ AP, dây MQ cắt dây AB tại I.

a) Chứng minh bốn điểm D, I, M, P cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh: QI . QM = QB² và tính số đo góc $\widehat {APB}$.

c) Gọi C là điểm nằm trên dây MB sao cho AM = CM. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ AP để tổng S = MP + MA có giá trị lớn nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

2)	Hình vẽ đúng hết câu a)	0,25
a)	Vì \[AB \bot PQ\] tại D nên $\Delta IPD$vuông tại D, suy ra ba điểm P, D, I cùng thuộc đường tròn đường kính PI (1)	0,25
	Xét đường tròn (O; R) có $\widehat {PMQ}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên: \[\widehat {PMQ} = 90^\circ \] hay $\widehat {PMI} = 90^\circ $	0,25
	Suy ra $\Delta MIP$ vuông tại M, suy ra ba điểm P, M, I cùng thuộc đường tròn đường kính PI (2)	0,25
	Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm P, M, I, D cùng thuộc đường tròn đường kính PI.	0,25
b)
	Chứng minh: $Δ Q I D ∽ Δ Q P M (g.g)$ . Từ đó suy ra: QI . QM = QD . QP* (1) Chứng minh: $Δ Q D B ∽ Δ Q B P (g.g)$ . Từ đó suy ra: QD . QP = QB²* (2) Từ (1) và (2) suy ra: QI . QM = QB²	0,25 0,25 0,25
	*Tính $\widehat {APB}$ Xét $\Delta OAD$ vuông tại D có: $OD = \frac{1}{2}.OQ = \frac{1}{2}.R$ Ta có: $\cos \widehat {AOD} = \frac{{OD}}{{OA}} = \frac{1}{2}$ nên $\widehat {AOD} = 60^\circ .$ Suy ra: $\widehat {AOB} = 120^\circ $. Từ đó suy ra: $\widehat {APB} = 60^\circ $.	0,25 0,25
c)	Chứng minh: $\Delta APB$ và $\Delta AMC$ là các tam giác đều Chứng minh: $\widehat {MAP} = \widehat {CAB}$ (cùng cộng với $\widehat {PAC}$ để bằng 60^o) Chứng minh: $\Delta AMP = \Delta ACB\,(c - g - c)$ Từ đó ta có: MP = BC* mà MA = MC. Suy raS = MP + MA = BC + MC = MB Do MB là dây cung nênMB có giá trị lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn (O ; R)	0,25 0,25

2)	Hình vẽ đúng hết câu a)	0,25
a)	Vì \[AB \bot PQ\] tại D nên \(\Delta IPD\)vuông tại D, suy ra ba điểm P, D, I cùng thuộc đường tròn đường kính PI (1)	0,25
	Xét đường tròn (O; R) có \(\widehat {PMQ}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên: \[\widehat {PMQ} = 90^\circ \] hay \(\widehat {PMI} = 90^\circ \)	0,25
	Suy ra \(\Delta MIP\) vuông tại M, suy ra ba điểm P, M, I cùng thuộc đường tròn đường kính PI (2)	0,25
	Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm P, M, I, D cùng thuộc đường tròn đường kính PI.	0,25
b)
	Chứng minh: $Δ Q I D ∽ Δ Q P M (g.g)$ . Từ đó suy ra: QI . QM = QD . QP* (1) Chứng minh: $Δ Q D B ∽ Δ Q B P (g.g)$ . Từ đó suy ra: QD . QP = QB²* (2) Từ (1) và (2) suy ra: QI . QM = QB²	0,25 0,25 0,25
	*Tính \(\widehat {APB}\) Xét \(\Delta OAD\) vuông tại D có: \(OD = \frac{1}{2}.OQ = \frac{1}{2}.R\) Ta có: \(\cos \widehat {AOD} = \frac{{OD}}{{OA}} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {AOD} = 60^\circ .\) Suy ra: \(\widehat {AOB} = 120^\circ \). Từ đó suy ra: \(\widehat {APB} = 60^\circ \).	0,25 0,25
c)	Chứng minh: \(\Delta APB\) và \(\Delta AMC\) là các tam giác đều Chứng minh: \(\widehat {MAP} = \widehat {CAB}\) (cùng cộng với \(\widehat {PAC}\) để bằng 60^o) Chứng minh: \(\Delta AMP = \Delta ACB\,(c - g - c)\) Từ đó ta có: MP = BC* mà MA = MC. Suy raS = MP + MA = BC + MC = MB Do MB là dây cung nênMB có giá trị lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn (O ; R)	0,25 0,25