Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H là các điểm lần lượt thuộc các cạnh

a) Đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh của hình thoi ABCD nên O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta thấy O là tâm đường tròn bàng tiếp góc D của tam giác DGH. Suy ra \(\widehat {GOH} = {180^0} - \widehat {OGH} - \widehat {OHG}\) = \({180^0} - \)\(\frac{{{{180}^0} - \widehat {DGH}}}{2} - \frac{{{{180}^0} - \widehat {DHG}}}{2}\) = \(\frac{{\widehat {DHG} + \widehat {DGH}}}{2} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {GDH}}}{2}\).

Do tam giác \(DAC\) cân tại D nên \(\widehat {DAC} = \widehat {DCA}\) = \(\frac{{{{180}^0} - \widehat {ADC}}}{2}\). Kết hợp hai điều trên, ta thấy

                                      \(\widehat {GOH} = \widehat {DAC} = \widehat {DCA}.\)

Từ đó \(\widehat {COG} = {180^0} - \widehat {GOH} - \widehat {AOH} = {180^0} - \widehat {OAH} - \widehat {AOH} = \widehat {AHO}.\)

Suy ra hai tam giác OAH và GCO đồng dạng góc-góc. Vì thế, \(\frac{{OA}}{{GC}} = \frac{{AH}}{{CO}}.\)

Suy ra \(AH.CG = OA.OC = O{A^2}\).

b) Chứng minh tương tự ý trên, ta có \(AE.CF = O{A^2} = AH.CG\). Suy ra \(\frac{{AE}}{{CK}} = \frac{{AH}}{{CF}}\). Chú ý rằng \(\widehat {EAH} = \widehat {GCF}\), ta thu được hai tam giác AEH và CGF đồng dạng cạnh-góc-cạnh. Suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {CGF}.\) Lại có \(\widehat {AEG} = \widehat {CGE}\) (do \(AB\parallel CD\)). Suy ra \(\widehat {HEG} = \widehat {FGE}.\)

Vậy \(EH\parallel FG\) (đpcm).