Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$. Trên đường tròn đã cho lấy điểm

36/37

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$. Trên đường tròn đã cho lấy điểm $A$ cố định ($A$ khác $B$ và $C$) và lấy điểm $D$ thay đổi trên cung nhỏ $AC$ ($D$ khác $A$ và $C$). Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$). Hai đường thẳng $BD$ và $AH$ cắt nhau tại $I$.

1) Chứng minh rằng tứ giác $IHCD$ là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh rằng $A{B^2} = BI \cdot BD$.

3) Lấy điểm $M$ trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $BM = AB$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MID$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $D$ thay đổi trên cung nhỏ $AC$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a)Học sinh vẽ đúng hình để làm được ý a)

$Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$. Trên đường tròn đã cho lấy điểm (ảnh 1)$

Vì $AH \bot BC$ nên $\widehat {IHC} = 90^\circ $

$\widehat {BDC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {BDC} = 90^\circ $

Ta có: $\widehat {IHC} + \widehat {BDC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $

Vậy tứ giác $IHCD$ nội tiếp.

b)Ta có: $\left( 1 \right)$

$\Delta ABH$ vuông tại $H$ $ \Rightarrow \widehat {BAI} + \widehat {ABC} = 90^\circ $ $\left( 2 \right)$

$\widehat {BAC} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $ \Rightarrow \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ $ $\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$; $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ $ \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {ADB}$

Xét $\Delta BAI$ và $\Delta BDA$ có: $\widehat {ABD}$ chung; $\widehat {BAI} = \widehat {ADB}$

(g-g) $ \Rightarrow \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{AB}}$$ \Rightarrow A{B^2} = BI \cdot BD$

c)Do $BM = AB$, mà $\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{AB}}$ nên $B{M^2} = BI \cdot BD$$ \Rightarrow \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{BM}}$

Xét $\Delta BMI$ và $\Delta BDM$ có: $\widehat {DBM}$ chung; $\frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{BM}}$

(c-g-c) $ \Rightarrow \widehat {BMI} = \widehat {BDM}$

$ \Rightarrow BM$ là tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn ngoại tiếp $\Delta MID$

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MID$ thuộc đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $M$

Do $A$; $B$; $C$ cố định nên $M$ cố định và đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $M$ cố định

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MID$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $D$ thay đổi trên cung nhỏ $AC$.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Bắc Ninh có đáp án

Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\). Trên đường tròn đã cho lấy điểm