Cho đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm chính giữa của

1) Để phương trình có nghiệm bằng 2, thay \(x = 2\) vào phương trình,ta được:

\({2^2} - 2\left( {m - 2} \right) \cdot 2 + {m^2} - 8 = 0\) hay \(4 - 4m + 8 + {m^2} - 8 = 0\).

Khi đó \({m^2} - 4m + 4 = 0\) hay \({\left( {m - 2} \right)^2} = 0\) nên \(m = 2\).

Vậy \(m = 2\) thì phương trình có nghiệm \(x = 2\)

2) \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 8 = 0 & \left( 1 \right)\)

Ta có \[\Delta = 4{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 8} \right) = 4{m^2} - 16m + 16 - 4{m^2} + 32 = - 32m + 48\].

Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta > 0\] hay \[ - 32m + 48 > 0\] nên \[m < 3.\]

Khi đó \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}.\]

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 8}\end{array}} \right.\).

Để \(4{x_1} - 3{x_2} = 25\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x_1} - 3{x_2} = 25}\\{{x_1} + {x_2} = 2m - 4\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình \[\left( 2 \right)\] với 4, ta được hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x_1} - 3{x_2} = 25 & & \left( 3 \right)}\\{4{x_1} + 4{x_2} = 8m - 16 & \left( 4 \right)}\end{array}} \right..\)

Trừ từng vế phương trình \(\left( 4 \right)\) cho \(\left( 3 \right)\) ta được: \(7{x_2} = 8m - 41\), tức là \({x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}.\)

Thế \({x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}\) vào phương trình \[\left( 2 \right)\] ta có: \({x_1} + \frac{{8m - 41}}{7} = 2m - 4\) hay \({x_1} = \frac{{6m + 13}}{7}.\)

Thay \({x_1} = \frac{{6m + 13}}{7}\,;\,\,{x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}\) vào \({x_1}{x_2} = {m^2} - 8\) ta được

\(\frac{{6m + 13}}{7} \cdot \frac{{8m - 41}}{7} = {m^2} - 8\)

\(\frac{{\left( {6m + 13} \right)\left( {8m - 41} \right)}}{{49}} = {m^2} - 8\)

\[\left( {6m + 13} \right)\left( {8m - 41} \right) = 49\left( {{m^2} - 8} \right)\]

\(48{m^2} - 142m - 533 = 49{m^2} - 392\)

\({m^2} + 142m + 141 = 0\).

Ta thấy \(1 - 142 + 141 = 0\) nên phương trình có nghiệm\(m = - 1\) hoặc\(m = - 141\) (thỏa mãn \(m < 3).\)

Vậy \[m \in \left\{ { - 1\,;\,\, - 141} \right\}\] thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(4{x_1} - 3{x_2} = 25.\)