Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H.

a) Do AC, AH là hai tiếp tuyến của đường tròn (M) nên AC=AH.

Tương tự, ta chứng minh được BD = BH.

Do đó AC + BD=AH+BH=AB (không đổi).

b) ⦁ Do AC, AH là hai tiếp tuyến của đường tròn (M) nên MA là tia phân giác của góc CMH hay AMC^=AMH^.

Tương tự, ta chứng minh được  BMD^=BMH^.

Xét đường tròn (O) đường kính AB có AMB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà AMH^+BMH^=AMB^=90°

Suy ra CMD^=AMC^+AMH^+BMH^+BMD^=2AMH^+BMH^=2⋅90°=180°

Do đó ba điểm C, M, D thẳng hàng.

⦁ Do tam giác OBM cân tại O (do OM = OB) nên OBM^=OMB^.

Suy ra 2OBM^+BOM^=180°.

Ta lại có: AOM^+BOM^=180° nên AOM^=2OBM^. 

Lại có BM là tia phân giác của góc ABD (do hai tiếp tuyến BD, BH của (O) cắt nhau tại B) hayABD^=2OBM^.

Suy ra  AOM^=ABD^.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên OM // BD.

Mặt khác, BD ⊥ CD (do BD ⊥ CM) nên CD vuông góc với OM tại M thuộc đường tròn (O).

Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).