Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Trên đường tròn

15/16

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Trên đường tròn $\left( O \right)$ lấy điểm $C$ không trùng với $B$ sao cho $AC > BC$. Các tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $D$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AB$, $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $OD$ và $AC$.

a) Chứng minh tứ giác $AOCD$ nội tiếp.

b) Gọi $F$ là giao điểm của hai đường thẳng $CD$ và $AB$. Chứng minh $CB$ là tia phân giác của $\widehat {HCF}$.

c) Chứng minh $AO.AH = 2A{E^2}$.

d) Gọi $M$ là giao điểm của hai đường thẳng $BD$ và $CH$. Chứng minh $M$ là trung điểm của $CH$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Trên đường tròn (ảnh 1)$

a) Chứng minh tứ giác $AOCD$ nội tiếp.

Ta có $DA$ và $DC$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$ nên $\widehat {DAO} = \widehat {DCO} = {90^0}$ (tính chất của tiếp tuyến)

Xét tứ giác $AOCD$ có $\widehat {DAO} + \widehat {DCO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ mà $\widehat {DAO}$ và $\widehat {DCO}$ là hai góc đối nhau nên tứ giác $AOCD$ nội tiếp.

b) Chứng minh $CB$ là tia phân giác của $\widehat {HCF}$.

Xét $\left( O \right)$ ta có $\widehat {ACB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $ \Rightarrow \widehat {ACH} + \widehat {BCH} = {90^0}$

Mà $\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = {90^0}$ (vì $\Delta ACH$ vuông tại $H$) nên ta có $\widehat {BCH} = \widehat {CAH}$

Lại có $\widehat {CAH} = \widehat {BCF}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ) nên $\widehat {BCH} = \widehat {BCF}$$ \Rightarrow $$CB$ là tia phân giác của $\widehat {HCF}$.

c) Chứng minh $AO.AH = 2A{E^2}$.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $\left\{ \begin{array}{l}DA = DC\\OA = OC\end{array} \right. \Rightarrow DO$ là đường trung trực của $AC$

$ \Rightarrow AC = 2AE \Rightarrow A{C^2} = 4A{E^2}$(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$, ta có $AB.AH = A{C^2} \Rightarrow 2AO.AH = A{C^2}$(Vì $AB = 2AO$) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $2AO.AH = 4A{E^2}$$ \Rightarrow AO.AH = 2A{E^2}$.

d) Chứng minh $M$ là trung điểm của $CH$.

Gọi $K$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Vì $CB$ là tia phân giác của $\widehat {HCF}$ mà $\widehat {HCF}$ là góc ngoài của $\Delta DCM$ nên $CB$ là phân giác ngoài của $\Delta DCM$ $ \Rightarrow \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{CD}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Mà $CD = AD$ nên $\frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{AD}}$ (3)

Vì $CH{\rm{//}}AD$ nên $\frac{{HM}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BD}}$ (định lý Talet) (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra $\frac{{CM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{AD}} \Rightarrow CM = HM \Rightarrow $$M$ là trung điểm của $CH$.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Sơn La có đáp án

Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Trên đường tròn