Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AO , dây cung MN vuông góc với AO tại H .

1) Vì \(HA = HO\) và \(MH \bot AO\) nên \(MH\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AO.\)

Suy ra \(MA = MO.\)

\(\Delta AMO\) có \(OM = OA\) (bán kính)

                  \(MA = MO\) (chứng minh trên)

Suy ra \(MA = MO = OA,\) hay \(\Delta AMO\) đều.

2) Vì \(OE = OF\) (bán kính) nên \(\Delta OEF\) cân tại \(O.\)

\(\Delta OEF\) cân tại \(O,\,\,OI\) là đường trung tuyến nên \(OI \bot EF.\)

\(\Delta CIO\) vuông tại \(I,\,\,A\) là trung điểm của \(CO\) nên \(AC = AI = AO.\)

Ta có \(AC = AM = AI = AO,\) suy ra tứ giác \(CMIO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CO.\)

Vì \(\widehat {CMO} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(CO\)) nên \(\Delta CMO\) vuông tại \(M.\)

Xét \(\Delta CHM\) và \(\Delta CMO\) có

              \(\widehat {MCO}\) là góc chung

              \(\widehat {CHM} = \widehat {CMO} = 90^\circ \)

Suy ra  

Do đó \(\frac{{CH}}{{CM}} = \frac{{CM}}{{CO}},\) hay  \(C{M^2} = CH.CO.\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta CHK\) và \(\Delta CIO\) có

              \(\widehat {OCI}\) là góc chung

              \(\widehat {CHK} = \widehat {CIO} = 90^\circ \)

              Suy ra   

Do đó \(\frac{{CH}}{{CI}} = \frac{{CK}}{{CO}},\) hay \(CI.CK = CH.CO.\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\,\left( 2 \right)\) ta có \(C{M^2} = CI.CK.\)