Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại F. Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC (M khác B, C), hai đường thẳng AM và CD cắt nhau tại E.

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.        c) Sai.          d) Đúng.

a) Đúng.

Xét \[\Delta EFB\] vuông tại \[F\] nên có trung điểm của cạnh huyền \[EB\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta EFB\]. (1).

Xét \[\Delta EMB\] vuông tại \[M\] nên có trung điểm của cạnh huyền \[EB\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta EFB\] (2).

Từ (1) và (2) ta có \[B,M,E,F\] cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác \[BMEF\] nội tiếp.

b) Đúng.

Vì \[AB \bot CD\] và \[\Delta ICD\] cân tại \[I\] nên \[IF\] là đường cao đồng thời là đường phân giác hay \[\widehat {CIF} = \widehat {FID}\] suy ra $sd\stackrel{⏜}{AC}=sd\stackrel{⏜}{AD}$.

Ta có: $\widehat{AMC}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{AC}$ và $\widehat{AMD}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{AD}$.

Suy ra \[\widehat {AMC} = \widehat {AMD}\] nên \[AM\] là phân giác của \[\widehat {CMD}\].

c) Sai.

Xét \[\Delta ACE\] và \[\Delta AMC\] có: \[\widehat A\] chung; $\widehat{AMC}=\widehat{ACD}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{AD}$.

Suy ra $\Delta ACE\backsim \Delta AMC$ (g.g).

d) Đúng.

Vì $\Delta ACE\backsim \Delta AMC$ (cmt) do đó \[\frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AC}}\] suy ra \[A{C^2} = AE.AM\].