Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm

a)\[\widehat {BEP} + \widehat {BCP} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\]½ tứ giác \[BEPC\]nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {EPC} = \widehat {EBA}\] (vì cùng bù với \[\widehat {EBC}\])

\[ \Rightarrow \widehat {EDA} = \widehat {EBA}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

\[ \Rightarrow \widehat {EDA} = \widehat {APQ} \Rightarrow \] Tứ giác \(PEDQ\) nội tiếp.

b)Mà \[\widehat {AMQ} = \widehat {APQ} \Rightarrow \widehat {APQ} = \widehat {ADE}\]\[ \Rightarrow \widehat {AMQ} = \widehat {ADK}\]

\[ \Rightarrow \Delta AKD\, \sim \,\Delta AQM{\rm{ }}\,\,(\widehat {QAM}\,\,chung;\,\,\widehat {ADK} = \widehat {AMQ})\]

c)\( \Rightarrow \Delta AKD\, \sim \,\Delta AQM{\rm{ }} \Rightarrow \frac{{AK}}{{AQ}} = \frac{{AD}}{{AM}} \Rightarrow AK.AM = AD.AQ\)

Ta có: \(\Delta ADB\,\, \sim \Delta ACQ\,{\rm{ }}(\widehat A{\rm{ chung;}}\,\,\widehat {ADB} = \widehat {ACQ} = {90^0})\)

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AQ}} \Rightarrow AB.AC = AD.AQ\)\( \Rightarrow AK.AM = AB.AC\)

d)Ta có \(AK.AM = AB.AC \Rightarrow AM = \frac{{AB.AC}}{{AK}}\)(không đổi) ½\(M\) cố định.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) thì ta có \(IA = IM\) nên \(I\) nằm trên đường trung trực của \(AM\) cố định.