Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $H$ là trung điểm của $OA$.

6/6

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $H$ là trung điểm của $OA$. Vẽ dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $H$. Gọi $M$ là một điểm di động trên cung nhỏ $BC$ ($M$ không trùng với $B$ và $C$), $AM$ cắt $CD$ tại $I$.

1) Tính độ dài các đoạn thẳng $AC,\,\,BC,\,\,CH$ theo $R$.

2) Chứng minh $AD$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $IDM$.

3) Tìm vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ sao cho $MB + MC + MD$ đạt giá trị lớn nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $H$ là trung điểm của $OA$. (ảnh 1)$

Vì \[H\] là trung điểm của \[OA\] nên $AH = \frac{{OA}}{2} = \frac{R}{2} \cdot $

Ta có \[\widehat {ACB} = {90^0}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$có đường cao $CH$:

$A{C^2} = AB.AH = 2R.\frac{R}{2} = {R^2} \Rightarrow AC = R$.

$B{C^2} = A{B^2} - A{C^2} = 4{R^2} - {R^2} = 3{R^2} \Rightarrow BC = R\sqrt 3 .$

$CH.AB = AC.BC \Rightarrow CH = \frac{{AC.BC}}{{AB}} = \frac{{R.R\sqrt 3 }}{{2R}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} \cdot $

$Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $H$ là trung điểm của $OA$. (ảnh 2)$

Cách 1:

Tam giác $ABD$ vuông tại $D$ đường cao $DH$ ta có $A{D^2} = AH.AB.$

\[\Delta AIH\] và \[\Delta ABM\] có góc \[A\] chung và \[\widehat {AHI} = \widehat {AMB}\left( { = {{90}^0}} \right)\].

Suy ra $\Delta AIH$ $\Delta ABM$ (g.g) Þ$\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AM}} \Rightarrow AH.AB = AI.AM.$

Do đó $A{D^2} = AI.AM \Rightarrow \frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{AI}}{{AD}} \cdot $

\[\Delta ADI\]

và \[\Delta AMD\] có góc \[A\] chung và $\frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{AI}}{{AD}}$.

Suy ra $\Delta ADI$ $\Delta AMD$ (c.g.c).

Vậy $\widehat {ADI} = \widehat {AMD}$. Do đó $AD$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta IDM$.

Cách 2:

\[OA\] là đường trung trực của \[CD\] nên \[AC = AD\].

Tam giác \[ACD\] cân tại \[A\] nên \[\widehat {ACD} = \widehat {ADI}\].

Mặt khác \[\widehat {ACD} = \widehat {AMD}\] (cùng chắn cung \[AD\]).

Vậy $\widehat {ADI} = \widehat {AMD}$. Do đó $AD$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta IDM$.

Tìm vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ sao cho $MB + MC + MD$ đạt giá trị lớn nhất.

$Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $H$ là trung điểm của $OA$. (ảnh 3)$

Ta có $CD = 2.CH = 2.\frac{{R\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 $.

Mặt khác $\Delta BCD$ cân tại $B$ nên $BD = BC = R\sqrt 3 $.

Vậy $\Delta BCD$ là tam giác đều.

Trên đoạn \[MD\] lấy điểm \[K\] sao cho \[MK = MB\].

$\Delta MBK$ cân tại $M$ có $\widehat {BMK} = \widehat {BCD} = {60^0}$ nên là tam giác đều.

Ta có \[\widehat {CBM} + \widehat {CBK} = {60^0},\,\,\widehat {DBK} + \widehat {CBK} = {60^0}\].

Dẫn đến \[\widehat {CBM} = \widehat {DBK}\].

Xét $\Delta CBM$ và \[\Delta DBK\] có: $CB = DB,\,\widehat {\,CBM} = \widehat {DBK},\,\,BM = BK$.

Do đó $\Delta CBM = \Delta DBK \Rightarrow MC = KD$.

Vậy $MD = MK + KD = MB + MC$.

Ta có $MB + MC + MD = 2MD \le 4R$.

Vậy $MB + MC + MD$ đạt giá trị lớn nhất khi $MD$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)$. Do đó $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Đồng Nai có đáp án

Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(OA\).