Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Tứ một điểm A ở ngoài đường tròn kẻ

4/5

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Tứ một điểm A ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng song song với AO cắt đường tròn tại M (M khác B), đường thẳng AM cắt đường tròn tại N (N khác M), đường thẳng BN cắt AO tại I, AO cắt BC tại K. Chứng minh rằng:

1) Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

2) \(I{A^2} = IN.IB\).

3) IA = IK.

4) \(\frac{{K{C^2}}}{{K{N^2}}} = \frac{{AM}}{{AN}}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Tứ một điểm A ở ngoài đường tròn kẻ (ảnh 1)

1.Ta có: \(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 180^\circ \)\[\].

.\( \Rightarrow \) tứ giác ABOC nội tiếp.

2.Ta có: \(\widehat {BMN} = \widehat {NAI}\)( So le trong)

\(\widehat {ABN} = \widehat {BMN}\)( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung BN) (1)

\( \Rightarrow \widehat {NAI} = \widehat {ABN}\).

.\( \Rightarrow \)Tam giác AIN đồng dạng với tam giác BIA\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{NI}} = \frac{{IB}}{{AI}} \Rightarrow A{I^2} = IB.IN(*)\).

3.Ta có OB = OC, AB = AC \( \Rightarrow AO \bot BC\), mà BM//AO\( \Rightarrow BM \bot BC\)

\( \Rightarrow \widehat {CBM} = 90^\circ \Rightarrow M,O,C\) thẳng hàng

\( \Rightarrow \widehat {MNC} = 90^\circ {\rm{ }} \Rightarrow \widehat {ANC} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \) tứ giác ANKC nội tiếp.

.\( \Rightarrow \widehat {CAN} = \widehat {{K_1}}\) mà \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{M_1}}\)( góc nội tiếp cùng chắn cung NC)

\( \Rightarrow \widehat {{K_1}} + \widehat {{B_1}} = \widehat {CAN} + \widehat {{M_1}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BNK} = 90^\circ \Rightarrow I{K^2} = IN.IB(**)\)

Từ (*) và (**)\(A{I^2} = I{K^2} \Rightarrow AI = IK\).

4.BM//AI \[ \Rightarrow \frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{BI}}{{BN}}\]( Hệ quả của định lý Talet)

Mà \[\frac{{BI}}{{BN}} = \frac{{BI.BN}}{{B{N^2}}} = \frac{{K{B^2}}}{{B{N^2}}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{K{B^2}}}{{B{N^2}}}\](3).

.BM//AI \[ \Rightarrow \frac{{MN}}{{AN}} = \frac{{BN}}{{NI}}\]( Hệ quả của định lý Talet)

\[\frac{{BN}}{{NI}} = \frac{{B{N^2}}}{{NI.BN}} = \frac{{B{N^2}}}{{N{K^2}}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{AN}} = \frac{{B{N^2}}}{{N{K^2}}}\](4)

Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow \frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{K{B^2}}}{{K{N^2}}} = \frac{{K{C^2}}}{{K{N^2}}}(KB = KC)\]. Vậy \[\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{K{C^2}}}{{K{N^2}}}\].