Cho đường tròn tâm O ,bán kính R .Từ điểm P nằm ngoài đường tròn ( O ) và cách O một khoảng OP = 2R

24/24

(2,5 điểm).

Cho đường tròn tâm \(O\),bán kính \(R\).Từ điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn \((O)\) và cách \(O\) một khoảng \(OP = 2R\),vẽ các tiếp tuyến \(PA,PB\) của \((O)\) với \(A,B\) là các tiếp điểm.

a) Chứng minh 4 điểm \(O,A,P,B\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Kẻ đường kính \(AC\) của \((O)\).Tia \(PC\) cắt \((O)\) tại điểm \(E\) và cắt đường thẳng \(AB\) tại điểm \(D\).

Gọi \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AB\) và \(OP\).Chứng minh đường thẳng \(OP\) vuông góc với đường thẳng \(AB\) và \[DA.DB = DC.DE\]

c) Tính diện tích tam giác \(APD\) theo \(R\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Cách giải:

Media VietJack

Ta có: vuông tại \(A\) (do \(PA\) là tiếp tuyến của \((O)\) )

Do đó \(A,P,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(PO\) (1)

vuông tại \(B\) (do \(PB\) là tiếp tuyến của \((O)\) )

Do đó \(B,P,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(PO\) (2)

Từ (1)và (2)ta suy ra \(A,P,B,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(PO\)

Vậy 4 điểm \(O,A,P,B\) cùng nằm trên một đường tròn

b) Cách giải:

Vì \(PA,PB\) là các tiếp tuyến của \((O)\) nên \(PA = PB\)

Do đó \(P\) thuộc đường trung trực của \(AB\) mà \(O\) thuộc đường trung trực của \(AB\) (do \(OA = OB\) )

Suy ra \(PO\) là đường trung trực của \(AB\)

Do đó \(PO \bot AB\) tại H

Xét và có \(\widehat {ADE} = \widehat {BDC}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\widehat {DAE} = \widehat {DCB}\) (cùng chắn cung )

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{DE}}{{DB}}\) hay \(DA \cdot DB = DC \cdot DE\)

c) Cách giải:

Ta có góc AEC = góc ABC = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nên \(AE \bot PC\) và \(AB \bot BC\)

Xét vuông tại A có

\(\cos \widehat {AOP} = \frac{{AO}}{{PO}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\) nên góc AOP = 60

Suy ra góc AOP = góc POB = 60 độ

Suy ra góc cob = 180 độ - 60 độ - 60 độ = 60 độ hay tam giác OBC

Suy ra \(BC = R\)

Và \(AP = \sqrt {O{P^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \)

Ta có

Suy ra \[\frac{{OA}}{{OP}} = \frac{{OH}}{{OA}} \Rightarrow \]\(O{A^2} = OH.OP\)

Suy ra \(OH = \frac{{O{A^2}}}{{OP}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2}\)

và \(PH = OP - OH = R - \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R\)

Suy ra \(AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

Ta có \(AB \bot BC;OP \bot AB\) nên \(OP\parallel BC\).

Khi đó \(\frac{{BC}}{{HP}} = \frac{{BD}}{{HD}} = \frac{R}{{\frac{3}{2}R}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \(HD = 2BD\).

Mà \(HD + BD = HB = HA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

nên \(HD = \frac{3}{5}HB = \frac{{3\sqrt 3 }}{{10}}R\)

Suy ra \(AD = AH + HD = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R + \frac{{3\sqrt 3 }}{{10}}R = \frac{{4\sqrt 3 }}{5}R\)

Suy ra

\( = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt 3 \cdot 2R - \frac{1}{2} \cdot R \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{5}R = \frac{{3\sqrt 3 }}{5}{R^2}\)

Vậy