Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn tâm O; B, C là các tiếp điểm. a) Chứng minh AO là đường trung trực của BC. b) Kẻ đường

(H.5.32)

a) Xét hai tiếp tuyến AB, AC của (O) cắt nhau tại A, ta có: AB = AC suy ra A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Mặt khác, OB = OC (cùng bằng bán kính).

Do đó O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy AO là đường trung trực của BC.

b) Xét tam giác CBD có BO là đường trung tuyến, \(BO = \frac{1}{2}CD.\)

Suy ra ∆CBD là tam giác vuông, hay BC ⊥ BD.

Mặt khác, AO ⊥ BC (do AO là đường trung trực của BC).

Từ đó suy ra BD // AO.

c) Theo giả thiết, ta có OM ⊥ OB, suy ra \(\widehat {MOA} + \widehat {AOB} = 90^\circ .\) (1)

Ta có \(\widehat {MAO} = \widehat {BAO}\) (do A là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O)).

Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên OB ⊥ AB. Do đó \[\widehat {BAO} + \widehat {AOB} = 90^\circ .\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {MOA} = \widehat {MAO},\] do đó ∆AMO là tam giác cân.

Suy ra MO = MA (điều phải chứng minh).