Cho đường tròn tâm O, bán kính bằng 2. Trên đường tròn, lấy 6 điểm chia đều đường tròn, lần lượt là A, B, C, D, E, F. Vẽ parabol C1 tiếp xúc với hai đoạn thẳng OA và OB lần lượt tại A và B.

Đáp án: 3,46.

Chọn hệ trục như hình vẽ

Khi đó đường thẳng vì tam giác \(OAB\) cân và có góc ở đỉnh là \({60^0}\) nên nó là tam giác đều. Ta được các điểm \(A\left( {1;\sqrt 3 } \right);B\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\). Vì vậy phương trình các đường thẳng \(\left( {OA} \right):y = \sqrt 3 x;\left( {OB} \right):y =  - \sqrt 3 x\).

Parabol \(\left( {{C_1}} \right):y = a{x^2} + c\) tiếp xúc với các đường thẳng trên cho nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3  = a{.1^2} + c\\\sqrt 3  = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\c = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).

Vì vậy diện tích cần tính là \(S = 12\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt 3 x} \right)} dx = 3,464\).