Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là tiếp điểm) và cát tuyến AMN không qua O (M nằm giữa A và N). Gọi H là giao điểm

a. Ta có:

OBA^= 90° (AB là tiếp tuyến của (O))

OCA^= 90° (AC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có OBA^+OCA^= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

b. Ta có:

AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OB = OC = R.

Suy ra OA là đường trung trực của BC dẫn đến OA vuông góc BC.

c. Xét ∆ ABM và ∆ ANB có:

NAB^ là góc chung

ANB^=ABM^ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM)

Suy ra ∆ ABM  ∆ ANB (g.g)

Từ đó suy ra ABAN=AMAB⇔AB2=AM.AN(điều phải chứng minh)

d. ∆ ABM đồng dạng ∆ ANB (cmt) nên ta có:

AB² = AM.AN

Mà ta cũng có AB² = AH.AO (∆ ABO vuông tại B có đường cao BH)

Suy ra AM.AN = AH.AO Û AMAO=AHAN

Xét ∆ AMH và ∆ AON có:

OAN^ là góc chung

AMAO=AHAN (cmt)

Suy ra ∆ AMH  ∆ AON (c.g.c)

Từ đó suy ra AMH^=AON^ (hai góc tương ứng).