Cho đường tròn ( O ) và điểm M ở ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA , MB và cát tuyến MPQ ( MP < MQ ). Gọi I là trung điểm của dây PQ .

a) +) Có \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(MB \bot OB\) tại \(B\). Suy ra \(B\) thuộc đường tròn đường kính \(MO\) (1)

            +) Có \(I\) là trung điểm của dây \(PQ\) của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OI \bot PQ\) tại \(I\). Suy ra \(I\) thuộc đường tròn đường kính \(MO\) (2)

   Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(B\), \(O\), \(I\), \(M\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(MO\).

                                                           

b) +) Xét \(\left( O \right)\) có các tiếp tuyến \(MA\), \(MB\) cắt nhau nên tia \(OM\) là phân giác của \(\widehat {AOB}\).

            \[ \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOA}\]

            Lại có \[\widehat {BEA} = \frac{1}{2}\widehat {BOA}\]  (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung)

Suy ra \[\widehat {BOM} = \widehat {BEA}\] (3)

+) Có bốn điểm \(B\), \(O\), \(I\), \(M\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(MO\) (cmt)

\[ \Rightarrow \widehat {BOM} = \widehat {BIM}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung ) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[\widehat {BEA} = \widehat {BIM}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(AE\)//\(IM\) hay \(AE\)//\(PQ\).

c) Kéo dài \(IO\) cắt \(AE\) tại \(H\).

Do \(OI \bot PQ\) và \(AE\)//\(PQ\) (cmt) nên \(OI \bot AE\) tại \(H\) hay \(OH \bot AE\) tại \(H\).

Suy ra \(H\) là trung điểm của \(AE\).

Mà \(K\) là trung điểm của \(AE\) nên \(K\) và \(H\) trùng nhau.

Suy ra \(K\) thuộc đường thẳng \(OI\).

Vậy ba điểm \(O\); \(I\); \(K\) thẳng hàng.