Cho đường tròn (O) và điểm C nằm ngoài đường tròn (O). Từ điểm C kẻ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B (điểm B nằm giữa hai điểm A và C). Kẻ đường kính EF của (O) vuông gó

a) Xét \[\left( O \right)\] có \[\widehat {FME} = {90^0}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \[\Delta HME\] vuông tại \[M\] có cạnh huyền \[HE\]

\[ \Rightarrow H,M,E\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HE\]                        (1)

Xét \[\Delta HIE\] vuông tại \[I\](do \(EF \bot AB\) tại \(I\)) có cạnh huyền \[HE\]

\[ \Rightarrow H,I,E\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HE\]                    (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow H,M,I,E\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HE\]                  

b) Xét \[\Delta EMF\] vuông tại \[M\] có \[\widehat {MFE} + \widehat {MEF} = {90^0}\]

\[\Delta EIC\] vuông tại \[I\] có \[\widehat {ICE} + \widehat {IEC} = {90^0}\]

Hay \[\widehat {ICE} + \widehat {MEF} = {90^0}\]

\[ \Rightarrow \widehat {MFE} = \widehat {ICE}\]

Xét \[\Delta EMF\] và \[\Delta EIC\] có:

\[\widehat {EIC} = \widehat {FME} = {90^0}\]

\[\widehat {MFE} = \widehat {ICE}\] (cmt)

 $\Rightarrow \Delta EMF\backsim \Delta EIC$ (g.g)

Xét \[\Delta CEF\] có \[FM\] và \[CI\] là 2 đường cao cắt nhau tại \[H\]

\[ \Rightarrow H\] là trực tâm \[\Delta CEF\]

\[ \Rightarrow EH \bot CF\] (3)

Xét \[\left( O \right)\] có \[\widehat {ENF} = {90^0}\](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\[ \Rightarrow EN \bot CF\] (4)

Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow E,H,N\] thẳng hàng

c) Gọi \[P\] là trung điểm của \[HC\]

Xét \[\Delta HMC\] vuông tại \[M\] có \[MP\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[HC\]

\[ \Rightarrow PM = PC = PH\]

\[ \Rightarrow \Delta MPH\] cân tại P

\[ \Rightarrow \widehat {PMH} = \widehat {PHM}\]

Mà \[\widehat {FHI} = \widehat {PHM}\] (2 góc đối đỉnh)

\[ \Rightarrow \widehat {PMH} = \widehat {FHI}\]

Mà \[\widehat {FHI} + \widehat {HFI} = {90^0}\]

\[ \Rightarrow \widehat {PMH} + \widehat {HFI} = {90^0}\]

Lại có \[\Delta OMF\] cân tại \[O\] (do \[OM = OF\])

\[ \Rightarrow \widehat {OMF} = \widehat {OFM}\]

Hay \[\widehat {OMF} = \widehat {HFI}\]

\[ \Rightarrow \widehat {PMH} + \widehat {OMF} = {90^0}\]

\[ \Rightarrow \widehat {PMO} = {90^0}\]\( \Rightarrow PM \bot OM\).

\[ \Rightarrow PM\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]

Vậy tiếp tuyến tại M của \[\left( O \right)\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng HC.