Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B và C là các tiếp điểm).

9/10

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B và C là các tiếp điểm). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, BD cắt (O) tại E (khác B) và BC cắt OA tại F. Chứng minh bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B và C là các tiếp điểm). (ảnh 1)

Ta có \(OA \bot BC\) tại F (vì \(OB = OC\) và \(AB = AC\))

\(\Delta ACF\) vuông ở F, trung tuyến FD

\( \Rightarrow \)\(DF = DC = \frac{1}{2}AC\)\( \Rightarrow \)\(\widehat {DFC} = \widehat {DCF}\) (1)

(vì \(\widehat {BDC}\) chung, )

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DEC} = \widehat {DCB}\) hay \(\widehat {DEC} = \widehat {DCF}\) (2)

(1), (2) suy ra \(\widehat {DEC} = \widehat {DFC}\)

\( \Rightarrow \)Tứ giác CDEF nội tiếp được.

Hay bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Cách 2:

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B và C là các tiếp điểm). (ảnh 2)

Ta có OA là trung trực của đoạn BC (vì \(OB = OC\) và \(AB = AC\))

\(OA \bot BC\) tại F và \(FB = FC\)

DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow \)\(DF\parallel AB\)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {EDF} = \widehat {ABD}\) (so le trong, \(DF\parallel AB\)) (1)

\( \Rightarrow \) (2)

(1), (2) suy ra \(\widehat {EDF} = \widehat {ECF}\)\( \Rightarrow \)Tứ giác CDEF nội tiếp được.

Hay bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.