Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là các tiếp điểm). 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp. 2) Trên cung nhỏ MN lấy điểm B khác M

1) Ta có:

OMA^= 90° (AM là tiếp tuyến của (O))

ONA^= 90° (AN là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có OMA^+ ONA^= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

2) Xét ∆AMB và ∆ACM có:

MAC^là góc chung

 MCB^=BMA^(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung MB).

Suy ra ∆AMB  ∆ACM (g.g)

Từ đó suy ra AMAC=ABAM⇔AM2=AC.AB (điều phải chứng minh)

3) Ta có OM = ON = R.

MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra OA là trung trực của MN suy ra OA ^ MN.

Xét ∆OMA vuông tại M có đường cao MH ta có:

MA² = AH.AO ⇔ABAO=AHAC

Mà MA² = AC.AB (chứng minh trên)

Suy ra AH.AO = AC.AB

∆ABH và ∆AOC có:

 OAC^là góc chung

ABAO=AHAC(chứng minh trên)

Do đó ∆ABH  ∆AOC (c.g.c)

Suy ra AHB^=ACO^ (hai góc tương ứng).