Cho đường tròn (O) và dây BC không đi qua tâm. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn đó cắt nhau tại A. Gọi I là giao điểm của BC và OA. Kẻ đường kính CD của đường tròn (O; OB). Biết rằng BD =

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Sai.

Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; OB) cắt nhau tại A nên AB = AC. Vậy AB = AC.

b) Đúng.

Vì AC = AB nên A thuộc đường trung trực của BC.

Lại có OB = OC nên O thuộc đường trung trực của BC.

Do đó, OA là đường trung trực của BD.

Lại có I là giao điểm của OA và BC.

Vậy I là trung điểm của BC.

c) Sai.

Vì OA là đường trung trực của BD nên OA ^ BC (1).

DBDC có OB là đường trung tuyến và OB \( = \frac{1}{2}\)DC nên DBDC vuông tại B.

Suy ra: DB ^ BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra OA // BD nên \(\widehat {{\rm{BDO}}} = \widehat {{\rm{AOC}}}\) (2 góc ở vị trí đồng vị).

Vậy \(\widehat {{\rm{BDO}}} = \widehat {{\rm{AOC}}}.\)

d) Đúng.

Tam giác DBC có: OI // BD nên theo hệ quả của định lý Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{{{\rm{OC}}}}{{{\rm{DC}}}} = \frac{1}{2}\) nên OI = \(\frac{1}{2}{\rm{BD}} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy OI = 1 cm.