Cho đường tròn (O) và BC là một dây của (O) khác đường kính. Gọi A là điểm trên cung nhỏ BC, sao cho A khác B, C và thỏa mãn AB<AC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Gọi D là chân

11/11

Cho đường tròn $\left( O \right)$ và $BC$ là một dây của $\left( O \right)$ khác đường kính. Gọi $A$ là điểm trên cung nhỏ $BC$, sao cho $A$ khác $B$, $C$ và thỏa mãn $AB < AC$. Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $\left( O \right)$. Gọi $D$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BC$ và $E$ là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ đến $AK$.

(a) Chứng minh tứ giác $ABDE$ nội tiếp.

(b) Chứng minh $DE\,\,{\rm{//}}\,\,KC$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho đường tròn (O) và BC là một dây của (O) khác đường kính. Gọi A là điểm trên cung nhỏ BC, sao cho A khác B, C và thỏa mãn AB<AC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Gọi D là chân (ảnh 1)

a) Ta có $D$ là chân đường vuông góc kể từ $A$ đến $BC$ nên $AD \bot \;BC$ hay $\hat{A D B} = 90^{°}$ .

Tương tự ta có $\hat{A E B} = 90^{°}$

$\Delta BDA$ và $\Delta BEA$ là các tam giác vuông với cạnh huyền là $AB$ nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

Hay các điểm $A$, $B$, $D$, $E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$.

Vậy tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$.

b) Có tứ giác $ABDE$ nội tiếp nên $\hat{A B D} + \hat{A E D} = 180^{°}$

Mà $\hat{K E D} + \hat{A E D} = 180^{°}$ (kề bù) nên $\widehat {KED} = \widehat {ABD}$

Lại có $\widehat {ABC} = \widehat {AKC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$ của $\left( O \right)$)

Suy ra $\widehat {KED} = \widehat {AKC}$ mà đây là 2 góc so le trong nên $DE\,\,{\rm{//}}\,\,KC$

c) Có tứ giác $ABDE$ nội tiếp nên $\widehat {IDE} = \widehat {OAB}$ (cùng bù với $\widehat {BDE}$)

$\Delta OBC$ cân tại $O$ nên đường trung tuyến $OI$ đồng thời là đường cao, suy ra $\hat{O I B} = 90^{°}$ .

Có $OIB$ và $OEB$ là các tam giác vuông có cạnh huyền $OB$ nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính $OB$, từ đó suy ra tứ giác $OBEI$ nội tiếp nên $\widehat {DIE} = \widehat {AOB}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn )

Cho đường tròn (O) và BC là một dây của (O) khác đường kính. Gọi A là điểm trên cung nhỏ BC, sao cho A khác B, C và thỏa mãn AB<AC. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Gọi D là chân (ảnh 2)

Xét $\Delta IDE$ và $\Delta OAB$ có $\widehat {IDE} = \widehat {OAB}$; $\widehat {DIE} = \widehat {AOB}$ nên (g.g)

Mà $\Delta OAB$ cân tại $O$ nên $\Delta IDE$ cân tại $I$.