Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Lấy điểm C bất kì thuộc cung nhỏ AB sao cho AC < AB. Tia MC cắt đườn

7/9

Cho đường tròn $\left( O \right)$, từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với đường tròn $\left( O \right)$ ( $A,B$ là các tiếp điểm). Lấy điểm $C$ bất kì thuộc cung nhỏ $AB$ sao cho $AC < AB$. Tia $MC$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai $D$. Vẽ $ON \bot CD$ tại $N$.
a) Chứng minh năm điểm $M,A,N,O,B$ cùng thuộc một đường tròn và $NM$ là tia phân giác của $\widehat {ANB}$.
b) Tia $AN$ cắt đường tròn ( $O$ ) tại $E$. $I$ là giao điểm của $MD$ và $AB$. Chứng minh: $NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB = N{D^2}$.
c) Qua $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AO$ và cắt $AN$ tại $K$. Chứng minh $IK\,{\rm{//}}\,AC$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn $\left( O \right)$, từ điểm $M$ n (ảnh 1)$

a) Chứng minh năm điểm $M,A,N,O,B$ cùng thuộc một đường tròn và $NM$ là tia phân giác của $\widehat {ANB}$.
Ta có hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với đường tròn $\left( O \right)$ ( $A,B$ là các tiếp điểm) nên $MA \bot OA\,;\,\,MB \bot OB$

Ta cũng có $ON \bot CD$ tại $N$ (GT)

$\Delta AMO$ vuông tại $A$ nên các điểm $M,A,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.

$\Delta BMO$ vuông tại $B$ nên các điểm $M,O,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.

$\,\Delta NMO$ vuông tại $N$ nên các điểm $M,N,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.
Do đó các điểm $M,A,N,O,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.
Ta có $\widehat {MAB} = \widehat {MBA}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Ta có $\widehat {MAB} = \widehat {MNB}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Ta có $\widehat {MBA} = \widehat {MNA}$ ( 2 góc nôi tiếp cùng chắn môt cung)
Do đó $\widehat {MNB} = \widehat {MNA}$

Nên \[NM\] là tia phân giác của $\widehat {ANB}$

b) Chứng minh: $NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB = N{D^2}$.
Xét $\Delta AMN$ và $\Delta IBN$ có

$\widehat {MNB} = \widehat {MNA}$ (chứng minh trên); $\widehat {AMN} = \widehat {IBN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AN$)

Do đó
$ \Rightarrow \frac{{NA}}{{NI}} = \frac{{NM}}{{NB}}$(tỉ số các cạnh tương ứng) $ \Rightarrow NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB$

Ta có $\widehat {ANB} = \widehat {AOB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$)

Mà \[NM\] là tia phân giác của $\widehat {ANB}$ nên $\widehat {ANM} = \frac{1}{2}\widehat {ANB}$
Do đó \[\widehat {ANM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \widehat {AEB}\]

\[ \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BE \Rightarrow \widehat {NDB} = \widehat {DBE}\] (so le trong)
Ta lại có $\widehat {DAN} = \widehat {DBE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $DE$)

Do đó $\widehat {DAN} = \widehat {BDN} = \left( {\widehat {DBE}} \right)$
Mặt khác $\widehat {AND} + \widehat {ANM} = 180^\circ $ (kề bù); $\widehat {BND} + \widehat {BNM} = 180^\circ $ (kề bù)

Mà $\widehat {ANM} = \widehat {BNM}$ (chứng minh trên) nên $\widehat {AND} = \widehat {DNB}$.

Do đó

$ \Rightarrow \frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{ND}}{{NB}}$ (tỉ số các cạnh tương ứng)

$ \Rightarrow NA\;{\rm{.}}\;NB = N{D^2}$

Ta có \[NM\] là tia phân giác của $\widehat {ANB}$ (chứng minh trên)

Mà $NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB$ (chứng minh trên) nên $NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB = N{D^2}$.
c) Chứng minh $IK\,{\rm{//}}\,AC$.

$\Delta OCD$ cân tại $O$ (vì $OC = OD$) nên đường cao $ON$ cũng là đường trung tuyến.

Do đó $NC = ND$
Theo chứng minh câu b) có $NI\;{\rm{.}}\;NM = N{D^2} = N{C^2} \Rightarrow \frac{{NI}}{{NC}} = \frac{{NC}}{{NM}}$
Ta có $CK \bot AO\,;\,\,AM \bot AO$ nên $CK\,{\rm{//}}\,MA \Rightarrow \frac{{NC}}{{NM}} = \frac{{NK}}{{NA}}$ (định lí Thales)

$ \Rightarrow \frac{{NI}}{{NC}} = \frac{{NK}}{{NA}}$

$ \Rightarrow IK\,{\rm{//}}\,AC$ (định lí Thales đảo).