Cho đường tròn ( O ) , từ điểm A ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC ( B , C là các tiếp điểm), OA cắt BC tại E.

a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.

Xét \(\left( O \right)\)có:

\(AB\)là tiếp tuyến tại  \(B\) (GT) nên \[AB \bot OB \Rightarrow \widehat {ABO} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \Delta ABO\]vuông tại \(B\) nên điểm \[B\] thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (1)

Mặt khác: \(AC\)là tiếp tuyến tại  \(C\) (GT) nên \[AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \Delta ACO\]vuông tại \[C\]nên điểm \[C\] thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (2)

Từ (1) và (2) sy ra: 4 điểm \(A,B,O,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\]

Do đó, tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \[AO\]

 

 b) Chứng minh \(BC\) vuông góc với \(OA\) và \(BA.BE = AE.BO\).

* Chứng minh \(BC\) vuông góc với \(OA\)

Xét \(\left( O \right)\)có:  \(AB\)và\(AC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau ở \(A\) (GT)

               \( \Rightarrow AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

           Mà \(OB = OC\) (\(B,\,\,C\) thuộc đường tròn\(\left( O \right)\))

               \( \Rightarrow OA\) là đường trung trực của \(BC\) nên \(BC \bot OA\)

* Chứng minh \(BA.BE = AE.BO\)

Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta AEB\)  có:

\(\widehat {ABO} = \widehat {AEB} = 90^\circ \,\,(cmt)\)

\(\widehat {BAO}\): góc chung

Suy ra: \(\Delta ABO\) ~ \(\Delta AEB\) (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BO}}{{EB}} \Rightarrow AB.EB = AE.BO\)

 c) Gọi \(I\)là điểm thộc đoạn thẳng \(BE\), đường thẳng qua\(I\)và vuông góc \(OI\)cắt các tia \(AB,\,\,AC\)theo thứ tự tại \(D\)và \(F\). Chứng minh \(F\) là trung điểm của\(AC\).

Vì \[AB \bot OB \Rightarrow \widehat {DBO} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \Delta DBO\]vuông tại \(B\) nên điểm \[B\] thuộc đường tròn đường kính \[DO\] (1)

Vì \[OI \bot DF \Rightarrow \widehat {DIO} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \Delta DIO\]vuông tại \(I\) nên điểm \[I\] thuộc đường tròn đường kính \[DO\] (2)

Từ (1) và (2) sy ra: 4 điểm \(D,B,I,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DO\]

Do đó, tứ giác \(DBIO\) nội tiếp đường tròn đường kính \[DO\]

\[ \Rightarrow \widehat {IDO} = \widehat {IBO}\] ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[IO\])

CMTT ta có: \[\widehat {IFO} = \widehat {ICO}\]

Mặt khác: \[OB = OC \Rightarrow \Delta OBC\]cân ở \[O \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB}\] hay \[\widehat {IBO} = \widehat {ICO}\]

Do đó: \[\widehat {IDO} = \widehat {IFO} \Rightarrow \Delta ODF\] cân ở \[O\] mà \[OI \bot DF\] (GT)

                               \[ \Rightarrow I\] là trung điểm của \[DF\]