Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng 1/2 số đo của cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB

Xét \(\Delta AOB\) có

\(\begin{array}{l}O{A^2} + O{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}\\A{B^2} = {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = 2{R^2}\end{array}\)

Vậy \(\Delta AOB\) vuông tại \(O.\)

Do đó sđSố đo cung lớn

Vì số đo của cung  nhỏ bằng \(\frac{1}{2}\) số đo cảu cung  lớn, nên

sđ . Do đó \(\widehat {AOB} = 120^\circ .\)

Mà \(\Delta AOB\)cân tại \(O\), suy ra \(\widehat A = 30^\circ .\)

Vẽ \(OH \bot AB,\) ta được \(OH = OA.\sin A = R.\sin 30^\circ  = \frac{1}{2}R.\)

Diện tích tam giác \(AOB\) là

\(S = \frac{1}{2}AB.OH = \frac{1}{2}R\sqrt 3 .\frac{1}{2}R = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}.\)