Cho đường tròn ( {O;R} và một điểm $S$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến

5/6

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $S$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $SA,\,\,SB$ với đường tròn ($A,\,\,B$ là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua $S$ (không đi qua tâm $O$) cắt đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại hai điểm $M$ và $N$ với $M$ nằm giữa $S$ và $N.$

1. Chứng minh tứ giác $SAOB$ nội tiếp.

2. Chứng minh $S{B^2} = SM.\,\,SN.$

3. Cho $SO = R\sqrt 5 $ và $MN = R\sqrt 2 $. Gọi $E$ là trung điểm $MN$. Tính độ dài đoạn thẳng $OE$ và diện tích tam giác $SOM$ theo $R.$

4. Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ cắt $SA,\,\,SB$ lần lượt tại $P,\,\,Q.$ Gọi giao điểm của $OQ,\,\,OP$ với $AB$ lần lượt là $I$ và $H$. Chứng minh ba đường thẳng $OM,\,\,QH,\,\,PI$ đồng quy.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn ( {O;R} và một điểm $S$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến (ảnh 1)$ $\widehat {SAO} = 90^\circ $ vì $SA$ là tiếp tuyến của đường tròn
$\widehat {SBO} = 90^\circ $ vì $SB$ là tiếp tuyến của đường tròn
$ \Rightarrow \widehat {SAO} + \widehat {SBO} = 180^\circ $
Vậy tứ giác $SAOB$ nội tiếp.
2. Chứng minh $S{B^2} = SM.\,\,SN$.
Xét hai \[\Delta SBM\] và\[\Delta SNB:\]Có $\widehat S$ chung.
Có $\widehat {MBS} = \widehat {MNB}$ (cùng chắn )\[ \Rightarrow \Delta SBM\] đồng dạng \[\Delta SNB\]
$ \Rightarrow \frac{{SB}}{{SN}} = \frac{{SM}}{{SB}} \Leftrightarrow S{B^2} = SM.\,\,SN$
3. Cho $SO = R\sqrt 5 $và $MN = R\sqrt 2 $. Gọi $E$ là trung điểm $MN$. Tính độ dài đoạn thẳng $OE$ và diện tích tam giác $SOM$ theo $R$.
$Cho đường tròn ( {O;R} và một điểm $S$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến (ảnh 2)$ Ta có $OE \bot MN$ $MN = R\sqrt 2 \Rightarrow ME = \frac{{R\sqrt 2 }}{2},$ $OM = R$ $ \Rightarrow OE = \sqrt {O{M^2} - M{E^2}} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}$
$SO = R\sqrt 5 ,$$SE = \sqrt {S{O^2} - O{E^2}} = \sqrt {5{R^2} - \frac{{2{R^2}}}{4}} = \frac{{3R\sqrt 2 }}{2}$
$SM = SE - ME = R\sqrt 2 .$
Vậy ${S_{SOM}} = \frac{1}{2}OE.SM = \frac{1}{2}.\frac{{R\sqrt 2 }}{2}.R\sqrt 2 = \frac{{{R^2}}}{2}$
4. Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ cắt $SA,\,SB$ lần lượt tại $P,\,Q$. Gọi giao điểm của $OQ,\,OP$ với $AB$ lần lượt là $I$ và $H$. Chứng minh ba đường thẳng $OM,\,\,QH,\,\,PI$ đồng quy.
$Cho đường tròn ( {O;R} và một điểm $S$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến (ảnh 3)$ Vì $QM,\,\,QB$ là hai tiếp tuyến của nên là hai tiếp tuyến của nên

Ta có $OM \bot PQ\,\,\,\left( 3 \right)$ Từ (1), (2) và (3) suy ra ba đường thẳng $OM,\,\,QH,\,\,PI$ là ba đường cao của tam giác $OPQ$ nên chúng đồng quy.

$Cho đường tròn ( {O;R} và một điểm \(S\) nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến (ảnh 1)$ \(\widehat {SAO} = 90^\circ \) vì \(SA\) là tiếp tuyến của đường tròn
\(\widehat {SBO} = 90^\circ \) vì \(SB\) là tiếp tuyến của đường tròn
\( \Rightarrow \widehat {SAO} + \widehat {SBO} = 180^\circ \)
Vậy tứ giác \(SAOB\) nội tiếp.
2. Chứng minh \(S{B^2} = SM.\,\,SN\).
Xét hai \[\Delta SBM\] và\[\Delta SNB:\]Có \(\widehat S\) chung.
Có \(\widehat {MBS} = \widehat {MNB}\) (cùng chắn )\[ \Rightarrow \Delta SBM\] đồng dạng \[\Delta SNB\]
\( \Rightarrow \frac{{SB}}{{SN}} = \frac{{SM}}{{SB}} \Leftrightarrow S{B^2} = SM.\,\,SN\)
3. Cho \(SO = R\sqrt 5 \)và \(MN = R\sqrt 2 \). Gọi \(E\) là trung điểm \(MN\). Tính độ dài đoạn thẳng \(OE\) và diện tích tam giác \(SOM\) theo \(R\).
$Cho đường tròn ( {O;R} và một điểm \(S\) nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến (ảnh 2)$ Ta có \(OE \bot MN\) \(MN = R\sqrt 2 \Rightarrow ME = \frac{{R\sqrt 2 }}{2},\) \(OM = R\) \( \Rightarrow OE = \sqrt {O{M^2} - M{E^2}} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\)
\(SO = R\sqrt 5 ,\)\(SE = \sqrt {S{O^2} - O{E^2}} = \sqrt {5{R^2} - \frac{{2{R^2}}}{4}} = \frac{{3R\sqrt 2 }}{2}\)
\(SM = SE - ME = R\sqrt 2 .\)
Vậy \({S_{SOM}} = \frac{1}{2}OE.SM = \frac{1}{2}.\frac{{R\sqrt 2 }}{2}.R\sqrt 2 = \frac{{{R^2}}}{2}\)
4. Tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) cắt \(SA,\,SB\) lần lượt tại \(P,\,Q\). Gọi giao điểm của \(OQ,\,OP\) với \(AB\) lần lượt là \(I\) và \(H\). Chứng minh ba đường thẳng \(OM,\,\,QH,\,\,PI\) đồng quy.
$Cho đường tròn ( {O;R} và một điểm \(S\) nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến (ảnh 3)$ Vì \(QM,\,\,QB\) là hai tiếp tuyến của nên là hai tiếp tuyến của nên

Ta có \(OM \bot PQ\,\,\,\left( 3 \right)\) Từ (1), (2) và (3) suy ra ba đường thẳng \(OM,\,\,QH,\,\,PI\) là ba đường cao của tam giác \(OPQ\) nên chúng đồng quy.

Cho đường tròn ( {O;R} và một điểm \(S\) nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến