Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là tiếp điểm). Gọi

a. Do MD là tiếp tuyến của (O) => \(MD \bot OD\) =>\(\widehat {MDO} = {90^0}\)

Do H là trung điểm của  AB; dây AB không đi qua tâm O

 nên \(OH \bot AB\); =>\(\widehat {MHO} = {90^0}\)

Xét tứ giác MHOD  có \(\widehat {MDO} + \widehat {MHO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

       tứ giác MHOD nội tiếp

       M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

b. Do MC, MD là tiếp tuyến của (O)

=>MO là tia phân giác của \(\widehat {CMD}\) => MI là tia phân giác của \(\widehat {CMD}\)(*)

OI là tia phân giác của \(\widehat {COD}\)  => \(\widehat {COI} = \widehat {DOI}\)  hay  (1)

Mà  ;  (2)

Từ 1, 2 =>  \(\widehat {MCI} = \widehat {DCI}\) => CI là phân giác của \(\widehat {MCD}\) (**)

Từ (*), (**) => I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

c. Ta có \({S_{MPQ}} = \frac{1}{2}MO.PQ = \frac{1}{2}.MO.2.OP = MO.OP\)

Mà  \(\Delta MCO \sim \Delta MOP(g.g)\)

\( =  > \frac{{MO}}{{MP}} = \frac{{CO}}{{OP}} =  > MO.OP = MP.CO\)

\( =  > {S_{MPQ}} = MP.CO = (MC + CP).CO \ge 2\sqrt {MC.CP} .CO = 2O{C^2} = 2{R^2}\)

Dấu “ =” xảy ra khi MC = CP \( \Leftrightarrow \Delta MOP\)  vuông cân

\( \Leftrightarrow \widehat {PMO} = {45^0}\) \( \Leftrightarrow \widehat {CMD} = {90^0}\)

ó MCOD là hình vuông cạnh R <=>  OM = R\(\sqrt 2 \) .Vậy diện tích tam giác MPQ bé nhất khi OM = R\(\sqrt 2 \)