Cho đường tròn (O; R) và điểm P nằm bên ngoài đường tròn sao cho OP = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn.

a) Đúng. Ta có: \[PM = PN\] (theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra \(P\) thuộc đường trung trực của \(MN\).       (1)

Lại có \[OM = ON = R\] nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(MN\).         (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(OP\) là đường trung trực của \(MN\) nên \(NM \bot OP\).

b) Đúng. Ta có: \(PM \bot OM\) (tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm) nên \(\widehat {OMP} = 90^\circ .\)

Từ \(\Delta OMP\) vuông tại \(M\), ta có: \[\cos \widehat {POM} = \frac{{OM}}{{OP}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}.\] Suy ra \[\widehat {POM} = 60^\circ .\]

Ta có \[\widehat {POM} = \widehat {PON} = 60^\circ \] (theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó \(\widehat {MON} = 120^\circ .\)

c) Đúng. Vì \[PM = PN\] nên \(\Delta PMN\) cân tại \(P\).         (3)

Ta có: \(\widehat {POM} + \widehat {MPO} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {MPO} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {MPO} = \widehat {NPO} = 30^\circ \) (theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó \(\widehat {MPN} = 60^\circ \). (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\Delta PMN\) là tam giác đều.

d) Sai. Xét \(\Delta OMN\)cân tại \(O\) có \(\widehat {MON} = 120^\circ \) (cmt).

Khi đó \(\widehat {OMN} = \widehat {ONM} = 30^\circ \) nên \(\widehat {MON} > \widehat {OMN}\).

Do đó \(MN > ON\) hay \(MN > R.\)