Cho đường tròn (O; R) và điểm M ở bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm). a) Chứng minh AOBM là tứ giác nội tiếp.

14/15

(2,0 điểm) Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M$ ở bên ngoài đường tròn. Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với đường tròn đó $(A,B$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh $AOBM$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $OM$ và $AB$, $K$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BI$. Qua $M$ kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $OK$ tại $H$. Chứng minh $OK.OH = {R^2}$.

c) Kẻ đường kính $BD$ của đường tròn $\left( O \right)$, đường thẳng $MD$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai $C$ ($C$ khác $D$). Gọi $E$ là trung điểm của $MI$. Chứng minh ba điểm $A,C,E$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$a) Bán kính đáy của thiết bị là: \({r_1} = \fra (ảnh 1)$

a) Vì $MA,MB$ là các tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] lần lượt tại $A,B$ nên $MA \bot OA,\,\,MB \bot OB.$

$\Delta MAO$ vuông tại $A$ nên $\Delta MAO$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$

$\Delta MBO$ vuông tại $B$ nên $\Delta MBO$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$

Suy ra bốn điểm $M,A,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO.$

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $MA = MB$ nên $M$ thuộc đường trung trực của $AB$

Mà $OA = OB = R$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $AB$

Do đó, $MO$ là đường trung trực của $AB$

Mà $OM$ cắt $AB$ tại $I$ nên $OM \bot AB$ và $I$ là trung điểm của $AB$.

Xét $\Delta OAI$ và $\Delta OMA$ có: $\widehat {OIA} = \widehat {OAM} = 90^\circ ,\widehat {AOM}$ chung

Do đó $Δ O A I ∽ Δ O M A$ (g.g).

Suy ra $\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OI}}{{OA}}$ hay $OM \cdot OI = O{A^2} = {R^2}$ (1)

Xét $\Delta OIK$ và $\Delta OHM$ có: $\widehat {OIK} = \widehat {OHM} = 90^\circ ,\widehat {HOM}$ chung

Do đó $Δ O I K ∽ Δ O H M$ (g.g)

Suy ra $\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OK}}{{OM}}$ hay $OI \cdot OM = OH \cdot OK$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OH \cdot OK = {R^2}$.

c) Gọi $E\prime $ là giao điểm của $AC$ và $OM$. Ta chứng minh $E\prime $ là trung điểm của $MI$.

Vì $ME\prime \,{\rm{//}}\,AD$ nên $\widehat {E\prime MC} = \widehat {CDA}$ (hai góc so le trong).

Xét $\Delta ME\prime C$ và $\Delta DAC$ có: $\widehat {E\prime MC} = \widehat {CDA},\widehat {MCE\prime } = \widehat {ACD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $Δ M E' C ∽ Δ D A C$ (g.g).

Suy ra $\frac{{ME\prime }}{{DA}} = \frac{{MC}}{{DC}}$ (3)

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có: $\widehat {BCD} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét $\Delta MCB$ và $\Delta BCD$ có: $\widehat {MCB} = \widehat {BCD} = 90^\circ ,\widehat {MBC} = \widehat {BDC}( = 90^\circ - \widehat {CBD})$

Do đó $Δ M C B ∽ Δ B C D$ (g.g), suy ra $\frac{{MC}}{{BC}} = \frac{{CB}}{{CD}} = \frac{{MB}}{{BD}}$.

Khi đó $\frac{{MC}}{{DC}} = \frac{{MC}}{{BC}} \cdot \frac{{CB}}{{CD}} = {\left( {\frac{{MB}}{{BD}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{MB}}{{2R}}} \right)^2}$ (4)

Xét $\Delta ABD$ có $I,O$ lần lượt là trung điểm của $BA,BD$ nên $IO$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ hay $IO = \frac{1}{2}AD$ (5)

Xét $\Delta MIB$ và $\Delta BIO$ có: $\widehat {MIB} = \widehat {BIO} = 90^\circ ,\widehat {MBI} = \widehat {BOI}( = 90^\circ - \widehat {IBO})$

Do đó $Δ M I B ∽ Δ B I O$ (g.g) suy ra $\frac{{MI}}{{BI}} = \frac{{IB}}{{IO}} = \frac{{MB}}{{BO}}$

Khi đó $\frac{{MI}}{{IO}} = \frac{{MI}}{{BI}} \cdot \frac{{IB}}{{IO}} = {\left( {\frac{{MB}}{{BO}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{MB}}{R}} \right)^2}$ (6)

Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra $\frac{{ME\prime }}{{DA}} = \frac{{MC}}{{DC}} = \frac{{M{B^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{MI}}{{4IO}} = \frac{{MI}}{{2AD}}$

Nên \[MI = 2ME'\] hay $E'$ là trung điểm của \[MI\].

Do đó, $E'$ trùng \[E\] nên ba điểm \[A,{\rm{ }}C,{\rm{ }}E\] thẳng hàng.