Cho đường tròn ( O ; R ) và điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ) . Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn ( O )

a) Vì \[MA,MB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \[\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^{\rm{o}}}\]

Suy ra hai tam giác \[\Delta MAO,\Delta MBO\] lần lượt vuông góc tại \[A,B\]

Do đó \[M,A,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\] và \[M,B,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Vậy \[4\] điểm \[M,A,O,B\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có \[\widehat {CBF} = \widehat {CDF}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[CF\])

Xét \[\Delta EBC\] và \[\Delta EDF\] có:

\[\widehat {CBE} = \widehat {FDE}\] (cmt), \[\widehat {CEB} = \widehat {FED}\] (hai góc đối đỉnh)

Do đó  (g.g).

c) Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có \[OC = OD = R\] nên tam giác \[OCD\] cân tại \[O\] do đó đường trung tuyến \[OE\] đồng thời là đường cao nên \[OE \bot CD\].

Khi đó \[\Delta MOE\] vuông tại \[E\] nên \[E\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] hay \[5\] điểm \[M,A,E,O,B\] cùng thuộc một đường tròn.

Do đó \[\widehat {AEM} = \widehat {AOM}\], \[\widehat {MEB} = \widehat {MOB}\].

Vì \[MA,MB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \[OM\] là tia phân giác của góc \[\widehat {AOB}\] hay \[\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\] suy ra: \[\widehat {AEM} = \widehat {BEM}\] nên \[EM\] là tia phân giác của góc \[\widehat {AEB}\].

d)

Ta có \[\widehat {BEM} = \widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOA} = \widehat {AFB}\] nên \[CD{\rm{//}}AF\] do đó \[{S_{MFD}} = {S_{MAD}}\]

Mà: \[{S_{MAD}} = \frac{1}{2}DH.AM \le \frac{1}{2}AM.AD \le \frac{1}{2}.AM.2R = AM.R\] không đổi do \[AM,R\] không đổi

Do đó \[{S_{MFD}}\] đạt giá trị lớn nhất là \[AM.R\] khi \[AD\] là đường kính của đường tròn \[\left( O \right)\].