Cho đường tròn ( O ; R ) và điểm M nằm ngoài đường tròn

a) Vì \(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) tại \(A\)nên \(\widehat {MAO} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \)\(A\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(MB\) là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) tại \(B\)nên \(\widehat {MBO} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \)\(B\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra bốn điểm  \(M\); \(A\) ; \(O\) ; \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\).

b) Vì \(MA\) ; \(MB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A\), \(B\) nên \(MA = MB\)

Mà \(OA = OB = R\)

Nên \(OM\) là đường trung trực của \(AB\).

\( \Rightarrow OM \bot AB\) tại \(H\)

\( \Rightarrow \widehat {AHM} = 90^\circ \)

Xét  và  có :

\[\widehat {OAM} = \widehat {AHM} = 90^\circ \]

\(\widehat {AMO}\) chung

 ( g-g )

\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MA}}\) ( tính chất tam giác đồng dạng)

\( \Leftrightarrow M{A^2} = MO.MH\) \(\left( 3 \right)\)

Vì \(AD\) là đường kính của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ \)

Xét  và  có :

\[\widehat {DAM} = \widehat {ACD} = 90^\circ \]

\(\widehat {AMD}\) chung

 ( g-g )

\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MA}}\) ( tính chất tam giác đồng dạng)

\( \Leftrightarrow M{A^2} = MC.MD\) \(\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra \(M{A^2} = MH.MO = MC.MD\).

c) Xét  và  có :

\[\widehat {OAM} = \widehat {AHO} = 90^\circ \]

\(\widehat {AOM}\) chung

 ( g-g )

\( \Rightarrow \frac{{OA}}{{MO}} = \frac{{OH}}{{OA}}\) ( tính chất tam giác đồng dạng)

\( \Leftrightarrow O{A^2} = MO.OH\)

\( \Leftrightarrow O{I^2} = OM.OH\)( do \(OA = OI = R\))

\( \Leftrightarrow OI.OH + O{I^2} = OM.OH + OI.OH\)

\( \Leftrightarrow OI.\left( {OH + OI} \right) = OH\left( {OM + OI} \right)\)

\( \Leftrightarrow OI.IH = OH.MI\) (đpcm).