Cho đường tròn (O; R) và điểm C nằm ngoài đường tròn. Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với OC. Lấy điểm N bất kì trên d. Kẻ tiếp tuyến NA của (O) (A là tiếp điểm).

14/15

(2,0 điểm):Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\]và điểm $C$ nằm ngoài đường tròn. Qua $C$ kẻ đường thẳng \[d\] vuông góc với $OC$. Lấy điểm $N$ bất kì trên \[d\]. Kẻ tiếp tuyến $NA$ của (O). ($A$ là tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giác \[ANCO\] là tứ giác nội tiếp.

2. Kẻ dây $AB$ vuông góc với $NO$ tại$K$, dây $AB$ cắt $OC$ tại $M$. Chứng minh rằng $NB$ là tiếp tuyến của (O) và tính \[OM.OC\]theo \[R\].

3. Kẻ đường kính $AD$ của (O). Vẽ $BH$ vuông góc với $AD$ tại $H$. Chứng minh $ND$ đi qua trung điểm của $BH.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

(2,0đ)

(1,0đ)

Vậy số lần ít nhất anh Minh cần gánh để được đầy bể nước là 45 lần. (ảnh 1)

1. Do NA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên $\widehat {NAO} = 90^\circ $

Suy ra $\Delta NAO$ vuông tại \[A\], nên \[A\] thuộc đường tròn đường kính \[ON\](1)

Do \[NC \bot OC\] vuông góc với nên $\widehat {NCO} = 90^\circ $ hay $\Delta NCO$ vuông tại \[C\] nên \[C\] thuộc đường tròn đường kính ON.

Vậy 4 điểm A, N, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính \[ON\] (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ANCO nội tiếp đường tròn.

0,25

(1,0đ)

2. $NB$là tiếp tuyến của$(O)$

Xét tam giác $OAB$ cân tại $O$ có $OK$ là đường cao nên đồng thời là phân giác $ \Rightarrow \widehat {BOK} = \widehat {AOK}$ suy ra $\Delta OBN = \Delta OAN$ (c.g.c)

$ \Rightarrow \widehat {OBN} = \widehat {OAN} = 90^\circ $ $ \Rightarrow OB \bot NB$ $ \Rightarrow $ $NB$ là tiếp tuyến của $(O)$.

* Xét $\Delta OKM$ và $\Delta OCN$ có $\widehat {NOC}$ chung và $\widehat {OKM} = \widehat {OCN} = {90^0}$

Suy ra $Δ O K M ∽ Δ O C N$ (g.g) $ \Rightarrow \frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{OK}}{{OC}}$ $ \Rightarrow OM.OC = OK.ON$

Xét tam giác $OAN$ vuông tại $A$ có $AK$ là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $OK.ON = O{A^2} = {R^2}$

Vậy $OM.OC = {R^2}$.

3. Gọi $I$ là giao điểm của $DN$ và $BH$.

Ta có ${\rm{BH //AN}}$ (cùng vuông góc với $AD$ )$ \Rightarrow \frac{{IH}}{{AN}} = \frac{{DH}}{{DA}} \Rightarrow IH.DA = DH.AN$ (1)

Do B thuộc đường tròn tâm O đường kính $AD$ \[ \Rightarrow \widehat {ABD} = {90^0}\]

$ \Rightarrow BD \bot AB$ mà $ON \bot AB(gt)$ $ \Rightarrow BD{\rm{ // }}ON$

\[ \Rightarrow \widehat {HDB} = \widehat {AON}\] (đồng vị) $\Rightarrow Δ H D B ∽ Δ A O N (g . g)$

$ \Rightarrow \frac{{HB}}{{AN}} = \frac{{HD}}{{AO}} \Rightarrow HB.AO = HD.AN$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $IH.DA = HB.AO$ mà $DA = 2.AO$.

$ \Rightarrow IH.2 = HB$. Hay I là trung điểm của HB.

0,25