Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O), đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm

a) Chứng minh bốn điểm \(A,B,O,H\)cùng thuộc một đường tròn.

Vì \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(AB \bot OB\). Khi đó:

\(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) nên nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\).

\(\Delta AHO\) vuông tại \(H\) nên nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\).

Do đó bốn điểm \(A,B,O,H\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AO\).

b) Chứng minh: \(BD\,{\rm{//}}\,OH\) và \(CH \cdot CA = 2{R^2}\).

Xét \(\left( O \right)\)có: \(\widehat {BDC}\) là góc  nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \).

Suy ra \(BD \bot AC\).

Lại có \(OH \bot AC\) suy ra \(BD\,{\rm{//}}\,OH\) (cùng vuông góc AC)

Xét \(\Delta CHO\) và \(\Delta CBA\) có

\(\widehat {ACB}\) chung; \(\widehat {CHO} = \widehat {CBA} = 90^\circ \).

Vậy \(\Delta CHO\) \(\Delta CBA\) (g.g).

Suy ra \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CO}}{{CA}} \Rightarrow CH.CA = CO.CB = R.2R = 2{R^2}\) (đpcm).

c) Gọi \(N\) là giao điểm của \(BH\) và \(DO\). Kẻ \(AK \bot BH\)\(\left( {K \in BH} \right)\), \(AK\)cắt \(BD\) tại I. Chứng minh các điểm \(C,N,I\) thẳng hàng.

Xét \(\Delta ABH\)có \(AK,BD\) là các đường cao nên \(I\) là trực tâm.

Suy ra \(HI \bot AB\) nên \(HI\,{\rm{//}}\,BC\).

\(\Delta ODC\)cân tại O (\(OD = OC = R\)) nên \(OH\) là đường cao đồng thời là trung tuyến.

Do đó \(H\) là trung điểm \(DC\).

• Xét \(\Delta BDC\)có: \(H\) là trung điểm \(DC\), \(HI\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(I\) là trung điểm của \(BD\).

• Xét \(\Delta BDC\)có \(CI,BH,DO\) là ba đường trung tuyến nên \(CI,BH,DO\) đồng quy.

Mà \(N\) là giao điểm của \(BH\) và \(DO\)

Vậy \(C,N,I\)thẳng hàng.