Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R). (B và C là hai tiếp điểm và C tuộc cung nhỏ

a) Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm B AB ⊥ OB hay ABO^=900

Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm C  AC ⊥ OC hay ACO^=900 .

Tứ giác ABOC có ACO^=ABO^=900  nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.

b) Xét ΔEMBvà ΔECN có:

EMB^=ECN^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB)

EBM^=ENC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

⇒ΔEMB∽ΔECN(gg) 

⇒EMEC=EBEN⇒EB.EC=EM.EN.

Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) lần lượt tại các tiếp điểm B và C nên AOB^=AOC^ và AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì I là trung điểm MN ⇒OI⊥MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

 ⇒AIO^=900I nằm trên đường tròn đường kính OA.

Xét đường tròn đường kính OA ta có:

AIC^=AOC^;AIB^=AOB^ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Mà AOB^=AOC^

 ⇒AIC^=AIB^hay IA là phân giác của .

d) Xét ΔAOC vuông tại C ta có:

OA2=AC2+OC2 

⇒AC2=OA2−OC2=4R2−R2=3R2 

⇒AC=R3.

Xét ΔAOC vuông tại C ta có:   sinCAO^=OCOA=R2R=12

⇒CAO^=300⇒CAB^=600

có AB = AC và CAB^=600 suy ra ΔABC  là tam giác đều.

 đường cao  h=AB32=3R2

SBCA=12h.AB=12⋅3R2⋅R3=3R234(dvdt)