Cho đường tròn ( O ; R ) và dây cung M N = R √ 3 . Kẻ O I ⊥ M N tại I . Số đo cung nhỏ M N bằng

11/15

Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và dây cung \[MN = R\sqrt 3 .\] Kẻ \[OI \bot MN\] tại \[I.\] Số đo cung nhỏ \[MN\] bằng

\[90^\circ .\]

\[145^\circ .\]

\[120^\circ .\]

\[150^\circ .\]

Giải thích

Đáp án đúng là:

Cho đường tròn ( O ; R ) và dây cung M N = R √ 3 . Kẻ O I ⊥ M N tại I . Số đo cung nhỏ M N bằng (ảnh 1)

Tam giác \[OMN\] cân tại \[O\] (do \[OM = ON = R\]) có \[OI\] là đường cao nên \[OI\] cũng là đường trung tuyến. Do đó \[I\] là trung điểm \[MN.\] Vì vậy \[IN = \frac{{MN}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.\]

Vì tam giác \[OIN\] vuông tại \[I\] nên \[\sin \widehat {ION} = \frac{{IN}}{{ON}} = \frac{{\frac{{R\sqrt 3 }}{2}}}{R} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\] Suy ra \[\widehat {ION} = 60^\circ .\]

Tam giác \[OMN\] cân tại \[O\] (do \[OM = ON = R\]) có \[OI\] là đường cao nên \[OI\] cũng là đường phân giác của tam giác. Do đó \[\widehat {MON} = 2 \cdot \widehat {ION} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .\]

Vì vậy

Vậy ta chọn phương án C.