Cho đường tròn (O:R) và dây cung BC cố định của đường tròn thỏa mãn

4/5

Cho đường tròn (O:R) và dây cung BC cố định của đường tròn thỏa mãn BC\( < 2{\rm{R}}.{\rm{\;}}\)Một điểm A di chuyển trên (O:R) sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường phân giác của \(\widehat {{\rm{CHE}}}{\rm{\;k\'e o\;d\`a i\;}}\)về hai phía cắt AB và AC lần lượt tại M,N.

1. Chứng minh tam giác AMN cân tại A.

2. Gọi I , P, Q, J lần lượt là hình chiếu của D trên cạnh AB, BE, CF, AC. Chứng minh rằng bốn điểm I, P, Q, J cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với AO.

3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong của \(\widehat {{\rm{BAC}}}\) tại điểm thứ hai K. chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho đường tròn (O:R) và dây cung BC cố định của đường tròn thỏa mãn (ảnh 1)

4.1. chứng minh tam giác AMN cân tại A.

Vì BE\({\rm{\;}} \bot {\rm{AC}} = {\rm{E\;n\^e n\;HEC}} = 90^\circ \)

Vì CF \( \bot {\rm{AB}} = {\rm{F\;n\^e n\;HFB}} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow {\rm{FMH}} + {\rm{MHF}} = 90^\circ ;{\rm{ENH}} + {\rm{NHE}} = 90^\circ {\rm{\;}}\left( 1 \right)\)

Vì HN là phân giác của góc CHE nên CHN = NHE

Lại có CHN=MHF ( đối đỉnh) nên NHE = MHF (2)

Từ (1) và (2) suy ra FMH = ENH hay AMN =ANM

Vậy \(\Delta {\rm{AMN\;c\^a n\;tai\;A}}.\)

2. Chỉ ra tứ giác BIPD nội tiếp nên IBD + IPD =180\(^\circ {\rm{\;}}\left( 3 \right)\)

Chỉ ra IBD = FHA ( cùng phụ với góc FAH);

Lại có FHA = QHD( đối đỉnh)\( \Rightarrow {\rm{IBD}} = {\rm{QHD}};\)

Chỉ ra tứ giác DPHQ nội tiếp nên QHD = QPD\( \Rightarrow {\rm{IBD}} = {\rm{QPD\;}}\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra QPD + IPD =180⁰ nên ba điểm I, P, Q thẳng hàng

Chứng minh tương tự ta được P, Q, J thẳng hàng.

Vậy 4 điểm I, P, Q, J thẳng hàng.

Từ tứ giác BIPD nội tiếp chỉ ra MIP = PDB

Lại có PD//AC (cùng vuông góc với BE) nên PDB = ACB

Qua A kẻ tiếp tuyến tAt’ của (O)suy ra AO

Suy ra tAI = AIP

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên IP//At

Cho đường tròn (O:R) và dây cung BC cố định của đường tròn thỏa mãn (ảnh 2)

Vì tam giác AMN cân tại A và AK là phân giác góc MAN nên AK là trung trực của MN suy ra AK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp AMN

AKM = ANK = 90\(^\circ \Rightarrow {\rm{KM}}\)//CF ; KN //BE

Gọi R = KM\( \cap {\rm{BH}};{\rm{s}} = {\rm{KN}} \cap {\rm{HC\;}} \Rightarrow {\rm{HRKS\;\;l\`a \;h\`i nh\;b\`i nh\;h\`a nh}}\)suy ra HK đi quả trung điểm của RS (5)

Từ MR//FH\( \Rightarrow \frac{{{\rm{HR}}}}{{{\rm{RB}}}} = \frac{{{\rm{FM}}}}{{{\rm{MB}}}};\)

Vì HN là phân giác của góc CHE nên HM là phân giác của góc BHF \( \Rightarrow \frac{{{\rm{FM}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{{{\rm{FH}}}}{{{\rm{HB}}}}\)

Từ SN//HE \( \Rightarrow \frac{{{\rm{HS}}}}{{{\rm{SC}}}} = \frac{{{\rm{EN}}}}{{{\rm{NC}}}};\)

Vì HN là phân giác của góc CHE nên \(\frac{{{\rm{EN}}}}{{{\rm{NC}}}} = \frac{{{\rm{HE}}}}{{{\rm{HC}}}}\)

Chỉ ra \(\Delta {\rm{FHB}}\~\Delta {\rm{EHC}}\left( {{\rm{\;\;g\'o c}} - {\rm{g\'o c}}} \right) \Rightarrow \frac{{{\rm{FH}}}}{{{\rm{NC}}}} = \frac{{{\rm{HE}}}}{{{\rm{HC}}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{\rm{HR}}}}{{{\rm{RB}}}} = \frac{{{\rm{HS}}}}{{{\rm{SC}}}} \Rightarrow {\rm{RS}}\)//BC (6)

Từ

(5) và (6) suy ra HK luôn đi qua trung điểm của BC ( cố định).