Cho đường tròn ( O ; R ) và dây BC < 2R . Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho AB < AC . Các đường cao AD và BF của tam giác ABC cắt nhau tại I .

8/9

Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\]và dây \[BC < 2R\]. Trên cung lớn \[BC\] lấy điểm \[A\] sao cho\[AB < AC\]. Các đường cao \[AD\] và \[BF\]của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[I\].

a) Chứng minh tứ giác \[ABDF\] nội tiếp đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó.

b) Chứng minh: \[CD.CB = CF.CA\]

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \[CDF\] cắt \[\left( {O;R} \right)\] tại điểm \[H\] (\[H\] khác\[C\]). Vẽ đường kính \[CK\] của \[\left( {O;R} \right)\] và gọi \[E\] là trung điểm của\[AB\]. Chứng minh 3 điểm \[K\],\[E\], \[H\]thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Media VietJack

1) Gọi \[M\]là trung điểm \[AB\]

Ta có: \[AD\] đường cao của tam giác \[ABC\]

\[ \Rightarrow AD \bot BC\]

\[ \Rightarrow \widehat {ADB} = {90^0}\]

\[\Delta ABD\] vuông tại \[D\] có \[DM\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\[ \Rightarrow DM = MA = MB = \frac{1}{2}AB\]

\( \Rightarrow A,\,B,\,D\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\).

Có: \[BF\] là đường cao của tam giác \[ABC\]

\( \Rightarrow BF \bot AC\)

\( \Rightarrow \widehat {BFA} = 90^\circ \)

\[\Delta ABF\] vuông tại \[F\] có \[FM\]là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\[ \Rightarrow FM = MA = MB = \frac{1}{2}AB\]

\( \Rightarrow B,\,F,\,A\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\)

\( \Rightarrow \) các điểm \[A,B,D,F,A\] cùng thuộc đường tròn đường kính \(AB\)

Þ Tứ giác \[ABDF\] nội tiếp đường tròn đường kính\[AB\], hay tâm đường tròn là trung điểm \[AB\]

2) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BFC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\widehat {ADC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \\\widehat {ACB}\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ADC\,\, \sim \,\,BFC\) (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{CD}}{{CF}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Rightarrow CD.CB = CF.CA\)

3) *) Ta có: \(BF \bot AC\) (gt);

\(KA \bot AC\) (do \[\widehat {KAC}\]nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))

\[ \Rightarrow AK//BF\] \[ \Rightarrow AK\,{\rm{//}}\,BI\] (3)

Tương tự ta có: \(AD \bot BC\) (gt)

\(KB \bot BC\) (do \[\widehat {KBC}\]nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,KB \Rightarrow AI\,{\rm{//}}\,KB\)

Mà: \(AK\,{\rm{//}}\,BI\) (cmt)

\( \Rightarrow AKBI\) là hình bình hành

*) Vì: \(AKBI\) là hình bình hành \( \Rightarrow AB\) cắt \(KI\) tại trung điểm mỗi đường

Mà \(E\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(KI\)

\( \Rightarrow \) \(K\,;\,\) \(I\,;\,\) \(E\) thẳng hàng (1)

+) Xét \(\left( O \right)\) có góc \(\widehat {KHC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow KH \bot CH\)

Gọi J là trung điểm IC

\[\Delta DIC\]vuông tại D có \[DJ\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\[ \Rightarrow JD = JI = JC = \frac{1}{2}IC\]

\[\Delta FIC\] vuông tại F có \[FJ\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\[ \Rightarrow JF = JI = JC = \frac{1}{2}IC\]

\[ \Rightarrow JF = JI = JC = JD\]

Suy ra, \[F,I,C,D\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[IC\]

mà \(H\) cùng thuộc đường tròn này.

\( \Rightarrow \)\(IH \bot CH\) mà \(KH \bot CH\) (cmt)

\( \Rightarrow \)\(K\) ;\(I\); \(H\) thẳng hàng (2)

Từ (1) ; (2) :\( \Rightarrow \) \(K\) ;\(E\) ;\(H\) thẳng hàng .

Media VietJack