Cho đường tròn ( O , R ) và dây AB cố định (AB không là đường kính)

2a) Chứng minh bốn điểm \(M,N,C,\,E\) cùng thuộc một đường tròn

Lập luận \(\widehat {ENC} = 90^\circ \)

Lập luận \(\widehat {EMC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ENC} = \widehat {EMC} = 90^\circ \)

Suy ra M; N cùng thuộc đường tròn đường kính CE hay 4 điểm M: N; C; E cùng thuộc một đường tròn đường kính CE.

2b) Chứng minh \(KI.KM = KC.KD\) và \(NE\) là tia phân giác của góc \(MNI.\)

Có \(\widehat {KIC}{\rm{ = 18}}{{\rm{0}}^0} - \widehat {CIM}{\rm{  = }}\widehat {CDM}\)( vì tổng các góc đối nhau của tứ giác nội tiếp CIMD bằng 1800)

Xét \(\Delta KIC\) và \(\Delta KDM\) có:

\(\widehat K{\rm{ chung; }}\widehat {KIC} = \widehat {KDM}\) (cmt)

 

Chứng minh: \(NE\) là tia phân giác của \(\widehat {MNI}\).

Xét \(\Delta CDE\) có: \(CM \bot DE;EN \bot CD\) và \(CM{\rm{ giao }}EN\) tại \(F\)

\[ \Rightarrow F\] là trực tâm \(\Delta CDE\)

\( \Rightarrow DF \bot CE\) tại \(I\) (\(DF\) cắt \(CE\) tại \(I\) ) hay \(DI \bot CE\) tại \(I\).

\( \Rightarrow \widehat {DIC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow I\) thuộc đường tròn tâm \(O\), đường kính \(CD\)

Xét  tứ giác \(CIFN\) có:

\[\widehat {CIF} + \widehat {CNF} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \]

Mà hai góc đối nhau trong tứ giác

Nên tứ giác \(CIFN\) nội tiếp đường tròn

\( \Rightarrow \widehat {ICF} = \widehat {INF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn  )

Chứng minh được tứ giác \[FMDN\] nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {FNM} = \widehat {FDM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn  )

Mà \(\widehat {ICM} = \widehat {IDM}\) (góc nội tiếp cùng chắn  của đường tròn \((O)\))

Hay \(\widehat {ICF} = \widehat {FDM}\)

\( \Rightarrow \widehat {INF} = \widehat {FNM}\)

\( \Rightarrow NF\) là tia phân giác của \(\widehat {MNI}\)\( \Rightarrow NE\) là tia phân giác của \(\widehat {MNI}\)

2c) Chứng minh rằng: \[\frac{{KC}}{{K{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{DN}}\]

Chứng minh được

Mà \(\frac{{KC}}{{KM}} = \frac{{CI}}{{DM}}\)( Vì )
nên \[\frac{{KC}}{{K{\rm{D}}}} = \frac{{KC}}{{KM}}.\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{CI}}{{DM}}.\frac{{CM}}{{DI}}\] (1)

Tương tự, \[\frac{{CN}}{{CE}} = \frac{{CI}}{{C{\rm{D}}}}\] và \[\frac{{DN}}{{DE}} = \frac{{DM}}{{C{\rm{D}}}}\]

Do đó, \[\frac{{CN}}{{DN}} = \frac{{CI}}{{DM}}.\frac{{CE}}{{DE}}\]    (2)

Chứng minh được \[\frac{{EC}}{{ED}} = \frac{{CM}}{{DI}}\]  (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra \[\frac{{KC}}{{K{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{DN}}\]