Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Ta có BAD^=CAM^ nên BAD^+DAM^=CAM^+DAM^ hay BAM^=DAC^.

Xét đường tròn (O) có ABM^=ADC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét ∆ABM và ∆ADC có: BAM^=DAC^ và ABM^=ADC^

Do đó ∆ABM ᔕ ∆ADC (g.g).

Suy ra ABAD=BMDC (tỉ số các cạnh tương ứng)

Mà BM = CM (do M là trung điểm của BC)

Nên ABAD=BMDC=CMCD hay ABCM=ADCD.

Xét ∆ABD và ∆CMD có:

ABCM=ADCD và BAD^=MCD^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD của đường tròn (O))

Do đó ∆ABD ᔕ ∆CMD (g.g).

Suy ra ADB^=CDM^ (hai góc tương ứng).

b) Do M là trung điểm của BC nên MC=BC2=R22.

Xét ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao của tam giác, do đó OMC^=90°.

Xét ∆OCM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có: OC² = OM² + MC²

Suy ra OM=OC2−MC2=R2−R222=R22=R22.

Do đó OM=MC.

Vì vậy, tam giác OCM vuông cân tại M. Suy ra COE^=45° hay số đo của cung nhỏ CE bằng 45°.

Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE là: S=πR2⋅45360=πR28 (đơn vị diện tích).