Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B các các tiếp điểm). (a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp. (b) Kẻ đường kính BD của đư
a) MA là tiếp tuyến đường tròn (O) tại A nên MA OA
MB là tiếp tuyến đường tròn (O) tại B nên MB OB
ΔOAM vuông tại A nên suy ra O, A, M thuộc đường tròn đường kính OM
ΔOBM vuông tại B nên suy ra O, B, M thuộc đường tròn đường kính OM
=> O, A, M, B thuộc đường tròn đường kính OM => tg OAMB nội tiếp
b) ΔODC cân tại O, có OE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao => OE CD
Chứng minh ΔDEO ⁓ ΔDBM (g-g)
=> DE.DM = DO.DB
Mà DO = R; DB = 2R => DE.DM = 2R2
c) ΔOEM vuông tại E => E thuộc đường tròn đường kính OM
Chứng minh \(\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{ABM}}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (1)
Chứng minh ΔDEK và ΔDAK lần lượt vuông tại E và A để suy ra tg AKDE nội tiếp
Chứng minh \(\widehat {{\rm{DKA}}} = \widehat {{\rm{AEM}}}\) (cùng bù với góc DEA) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{\rm{DKA}}} = \widehat {{\rm{ABM}}}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên KD // BM
Lại có BM BD nên suy ra KD BD
Mà KD là đường kính đường tròn (O) nên suy ra KD là tiếp tuyến đường tròn (O)