Cho đường tròn ( {O\,;R} \right)\) có đường kính \[MN.\] Gọi đường

38/39

Cho đường tròn $\left( {O\,;R} \right)$ có đường kính \[MN.\] Gọi đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm . Lấy điểm $E$ di động trên đường tròn \[\left( O \right)\]$(E$ không trùng với $M$ và $N),$ tia\[ME\] cắt đường thẳng $d$ tại điểm $F.$ Kẻ \[OP\] vuông góc với \[ME\] tại điểm $P$, tia \[PO\] cắt đường thẳng $d$ tại điểm $Q$, tia \[FO\] cắt \[MQ\] tại điểm $D.$

1) Chứng minh tứ giác \[ONFP\] nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh$MD \cdot DQ = DO \cdot DF.$

3) Tìm được bao nhiêu điểm \[E\] trên đường tròn \[\left( O \right)\] để tổng $MF + 4ME$ đạt giá trị nhỏ nhất?

\[a,{\rm{ }}b,\,\,c\]Bài5. (0,5 điểm)Cho ba số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{{1 + a}} + \frac{{25}}{{25 + 2b}} \le \frac{{4c}}{{4c + 81}}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a \cdot b \cdot c.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Ta có $OP \bot MF;FN \bot MN$ nên $\widehat {OPF} = 90^\circ ;\,\,\widehat {FNO} = 90^\circ .$

Suy ra $\widehat {FNO} + \widehat {OPF} = 180^\circ $.

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \[ONFP\] nội tiếp.

b) Xét $\Delta FMQ$ có $QP,MN$ là đường cao cắt nhau tại \[O\] nên \[O\] là trực tâm suy ra $FO \bot MQ$ hay $FD \bot MQ.$

Xét $\Delta DOM$ và $\Delta NOF$ có $\widehat {MOD} = \widehat {NOF}$ (đối đỉnh) và $\widehat {ODM} = \widehat {ONF} = 90^\circ .$ Suy ra $\widehat {OMD} = \widehat {OFN}$.

$Cho đường tròn ( {O\,;R} \right)\) có đường kính \[MN.\] Gọi đường (ảnh 1)$

Xét $\Delta OMD$ và $\Delta QFD$ có \[\widehat {OMD} = \widehat {OFN}\] và $\widehat {ODM} = \widehat {FDQ} = 90^\circ .$

Do đó . Suy ra $\frac{{OD}}{{QD}} = \frac{{MD}}{{FD}}$ hay $OD \cdot DF = MD \cdot DQ$ (đpcm).

c) Ta có \[\widehat {MEN} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $NE \bot MF.$

Xét $\Delta MEN$ và $\Delta MNF$ có \[\widehat {NME}\] chung và $\widehat {MEN} = \widehat {MNF} = 90^\circ .$

Do đó . Suy ra $\frac{{ME}}{{MN}} = \frac{{MN}}{{MF}}$ hay $ME \cdot MF = M{N^2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$MF + 4ME \ge 2\sqrt {MF \cdot 4ME} = 4\sqrt {MF \cdot ME} = 4\sqrt {M{N^2}} = 4.2R = 8R$.

Dấu có khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MF = 4ME}\\{ME \cdot MF = 4{R^2}}\end{array}} \right.\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MF = 4ME}\\{ME \cdot 4ME = 4{R^2}}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ME = R}\\{MF = 4R}\end{array}} \right.\].

Mà trên $\left( O \right)$ có 2 điểm \[E\] để $ME = R$.

Vậy có 2 điểm \[E\] để tổng $MF + 4ME$ đạt giá trị nhỏ nhất.