Cho đường tròn (O; R), một đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E. Một điểm A di động trên đường thẳng d và A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (

26/26

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ một đường thả̉ng $d$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại hai điểm $D$ và $E$. Một điểm $A$ di động trên đường thả̉ng $d$ và $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$, kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ đến đường tròn ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $I$ là trung điểm của $DE$, đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Chứng minh rằng: Khi $A$ di động trên đường thả̉ng $d$ thì $BC$ luôn đi qua một điểm cố định.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$a) Ta có $AC$, $AH$ là tiếp tuyến c (ảnh 1)$

$I$ là trung điểm của $DE\left( {gt} \right) \Rightarrow OI \bot DE$ hay $\Delta OIA$ vuông tại $I$

Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

Ta có $\Delta OHN$ vuông tại $H$

Ta có $Δ O H N ∽ Δ O I A$ (g.g) $ \Rightarrow \frac{{ON}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{OI}} \Rightarrow ON = \frac{{OA.OH}}{{OI}}$.

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta HBO$ có: $\widehat {ABO} = \widehat {BOH} = 90^\circ $, $\widehat {AOB}{\rm{\;}}$ chung.

Do đó $Δ A B O ∽ Δ B H O$ (g.g) $ \Rightarrow \frac{{OB}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OB}}$ $ \Rightarrow OA.OH = O{B^2} = {R^2}$

Do đó $ON = \frac{{{R^2}}}{{OI}}$ (không đổi), $d$ cho trước, $O$ cố định $ \Rightarrow I$ cố định $ \Rightarrow N$ cố định.