Cho đường tròn (O;R), hai điểm A,B nằm trên đường tròn, góc AOB = 60 độ. Dây cung CD cắt OA, OB lần lượt tại M, N sao cho CM = MN = ND

Chọn A

Gọi \[H\] là trung điểm của \[MN\] thì \[HM = HN\]mà \(MC = ND\)

nên \[HC = HD\] suy ra \[H\] là trung điểm của dây \[CD\] \( \Rightarrow \) \[OH \bot CD,\,CD = 3MN = 6MH\].

Tam giác \[OMN\] có \[OH\] là đường cao và cũng là trung tuyến, nên tam giác \[OMN\] cân tại \[O\].

\[ \Rightarrow OH\] là đường phân giác góc \[\widehat {MON}\].

\[ \Rightarrow \widehat {MOH} = 30^\circ \Rightarrow OH = MH.\cot \widehat {MOH} = MH.\cot 30^\circ = MH\sqrt 3 \].

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \[OCH\], ta có:

\[O{C^2} = C{H^2} + O{H^2} \Rightarrow {R^2} = {\left( {3MH} \right)^2} + {\left( {MH\sqrt 3 } \right)^2} = 12M{H^2}\]

\[ \Rightarrow MH = \frac{R}{{2\sqrt 3 }} \Rightarrow CD = 6MH = R\sqrt 3 \].