Cho đường tròn (O; R), đường kính BC cố định và điểm A cố định thuộc đoạn thẳng OB (A không trùng với O và B). Kẻ dây PQ ⊥ BC tại A. Lấy M thuộc cung lớn PQ (M không trùng với C). Nối BM cắt

a. EAC^= 90° (EA vuông góc AC)

EMC^= 90° (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác ABOC có EAC^+ EMC^= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác AEMC nội tiếp (đpcm).

b. Xét ∆ BAP và ∆ BPC có:

PBC^là góc chung

BPC^=BAC^= 90° ( là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra ∆ BAP  ∆ BPC (g.g)

Từ đó suy ra BABP=BPBC⇔BP2=BA.BC(1)

Xét ∆ BEA và ∆ BCM có:

MBC^ là góc chung

 BEA^=BCM^(tứ giác AEMC nội tiếp)

Suy ra ∆ BEA đồng dạng ∆ BCM (g.g)

Từ đó suy ra BEBC=BABM⇔BE.BM=BA.BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra: BP² = BE. BM = BA.BC (đpcm)

c. Ta có:

EMI^=MBC^(hai góc đồng vị).

MPC^=MBC^(tứ giác PMCB nội tiếp đường tròn O).

Suy ra MEI^=MPC^ .

Tứ giác EPMI có MEI^=MPI^suy ra tứ giác EPMI nội tiếp.

Ta có: PA⊥BCBC//EI}⇒PA⊥EI⇒PEI^= 90°

Ta có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EPMI.

Mà ta có PEI^= 90° dẫn đến PI là đường kính .

Suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM là trung điểm của PI.

Mà điểm này cũng thuộc đường thẳng PC với P và C cố định nên ta suy ra điều phải chứng minh.