Cho đường tròn (O; R) đường kính AC, lấy D thuộc đường tròn (AD > DC). Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AD tại B. Kẻ CE vuông góc với OB tại E.

a) Chứng minh: tứ giác \(BDEC\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có:

• \(\widehat {ADC} = 90^\circ \) (góc chắn nữa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {BDC} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta BDC\) vuông tại \(D\)

Suy ra \(B,D,C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) \(\left( 1 \right)\)

• \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) (gt) \( \Rightarrow \Delta BEC\) vuông tại \(E\).

Suy ra \(B,E,C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\)  \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra tứ giác\(BDEC\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(DE\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai \(K\). Kẻ đường kính \(KH\). Chứng minh: \(\widehat {ECO} = \widehat {CDE}\) và \(C,E,H\) thẳng hàng.

Ta có: \(\widehat {ECO} + \widehat {EOC} = 90^\circ ,\widehat {CBO} + \widehat {BOC} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {ECO} = \widehat {CBO}\)

Vì tứ giác \(BCED\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {EBC} = \widehat {CDE}\) (cùng chắn cung \(EC\))

Suy ra \(\widehat {ECO} = \widehat {CDE}\).

• \(\widehat {KCA} + \widehat {ACE} = \widehat {KCA} + \widehat {OCE} = \widehat {KCA} + \widehat {CDE} = \widehat {KCA} + \widehat {KDC} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {KCE} = 90^\circ \)

Mà \(\Delta KCH\)nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có \(HK\)là đường kính nên \(\widehat {HCK} = 90^\circ \)

Do đó \(C,E,H\) thẳng hàng.

c) Qua \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AD\) tại \(F\) và cắt \(CH\) tại \(I\). Chứng minh: \(EK\parallel HF\).

Ta có:

+) \(\widehat {AHI} = \widehat {AFI} = 90^\circ  \Rightarrow AFHI\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {AIF} = \widehat {AHF}\)        (3)

+) \[\widehat {DAC} + \widehat {IAF} = 90^\circ ,\widehat {IAF} + \widehat {AIF} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {AIF}\]          (4)

+) \(\widehat {CKD} = \widehat {CAD}\) (cùng chắn cung \(CD\))                              (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\widehat {AHF} = \widehat {CKD}\)

Mặt khác, \(AH \bot CD,KC \bot CI \Rightarrow AH{\rm{ // }}CK \Rightarrow \widehat {AHK} = \widehat {CKH}\) (hai góc so le trong)

\( \Rightarrow \widehat {AHF} + \widehat {FHK} = \widehat {HKC} + \widehat {CKD}\)

Mà \(\widehat {AHF} = \widehat {CKD}\) nên \(\widehat {FHK} = \widehat {HKD}\)

Nhận thấy 2 góc ở vị trí so le trong suy ra \(EK\parallel HF\)(dấu hiệu nhận biết).