Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I nằm giữa A và O, qua điểm I kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tại C và D. Lấy điểm E thuộc cung nhỏ BC (E khác B và C). Hai dây AE

7/9

Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính \[AB\], lấy điểm $I$ nằm giữa $A$ và $O$, qua điểm $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với \[AB\]cắt đường tròn tại $C$ và $D$. Lấy điểm $E$ thuộc cung nhỏ \[BC\]$($\[E\] khác $B$ và $C$). Hai dây \[AE\] và \[CD\] cắt nhau tại $K$.

a) Chứng minh: 4 điểm \[K,E,I,B\]cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi \[P\] là giao điểm của hai tia \[BE\] và \[DC\], $Q$ là giao điểm của \[AP\] và \[BK\]. Chứng minh $AP \bot BK$ tại $Q$ và $PQ.PA = PE.PB$.

c) Kẻ $PF \bot EQ$ tại $F$. Gọi $J$ là trung điểm \[PK\], \[JO\] cắt \[EQ\] tại $M$. Chứng minh \[JE\] là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ và $KM//IF$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính \[ (ảnh 1)$

a) Có $CD \bot AB$ tại $I$ nên $\widehat {KIB} = {90^0}$

$\Delta KIB$ vuông tại $I$ nên ba điểm \[K,B,I\]thuộc đường tròn đường kính \[KB\](1)

Xét \[(O)\] có $\widehat {AEB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $ \Rightarrow $ $\widehat {KEB} = {90^0}$

$\Delta KEB$ vuông tại $E$ nên ba điểm \[K,E,B\]thuộc đường tròn đường kính \[KB\] (2)

Từ (1) (2) ta suy ra 4 điểm \[K,{\rm{ }}E,{\rm{ }}B,{\rm{ }}I\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[KB\]

b) Gọi \[P\] là giao điểm của hai tia \[BE\] và \[DC\], $Q$ là giao điểm của \[AP\] và \[BK\]. Chứng minh $AP \bot BK$ tại $Q$ và $PQ.PA = PE.PB$.

+) $\Delta ABP$ có 2 đường cao \[PI;AE\]cắt nhau tại $K \Rightarrow $$K$là trực tâm của tam giác $\Delta ABP$

$ \Rightarrow $$AP \bot BK$tại $Q$ .

+) Có $\widehat {PQB} = {90^0}$ $ \Rightarrow $$Q \in (O)$

Xét $\Delta PEA$ và $\Delta PQB$ có

$\widehat {QPB} = \widehat {EPA}$

$\widehat {PEA} = \widehat {PQB} = {90^0}$ (cmt)

Suy ra, $\Delta PEA\~\Delta PQB(g - g)$$ \Rightarrow \frac{{PE}}{{PQ}} = \frac{{PA}}{{PB}}{\rm{ hay }}PA.PQ = PE.PB{\rm{ (dpcm)}}$

c) Chứng minh: \[JE\]là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

Xét $\Delta PEK$ vuông tại $E$ có \[EJ\]là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[PK\]nên $JK = JE = JP$

Suy ra $\Delta PJE$ cân tại $J$nên $\widehat {JPE} = \widehat {JEP}$

$\Delta OEB$ cân tại $O$ ($OE = OB = R$) nên $\widehat {OBE} = \widehat {OEB}$

Xét $\Delta PIB$ vuông tại $I$ có $\widehat {IBP} + \widehat {IPB} = {90^0}$

Hay $\widehat {JPE} + \widehat {OBE} = {90^0}$ suy ra $\widehat {JEO} = {90^0}$

Vậy \[JE\] là tiếp tuyến của $(O)$

d) Chứng minh: $KM//IF$

Gọi $H$ là trực tâm $\Delta PQE$$ \Rightarrow $$QH//KE$

Chứng minh tứ giác \[QHEK\]là hình bình hành (vì $QH//KE$; $QK//HE$)

Suy ra \[K,M,H\]thẳng hàng

Chứng minh $\Delta PIA\~\Delta PFE(g - g)$ nên $\frac{{PI}}{{PF}} = \frac{{PA}}{{PE}}$

Chứng minh $\Delta PHE\~\Delta PKA(g - g)$ nên $\frac{{PK}}{{PH}} = \frac{{PA}}{{PE}}$

Suy ra $\frac{{PH}}{{PF}} = \frac{{PK}}{{PI}}$

Áp định lí Thales đảo trong $\Delta PIF$ suy ra $KH//IF$ hay $KM//IF$ (đpcm)