Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I nằm giữa A và O, qua điểm I kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tại C và D. Lấy điểm E thuộc cung nhỏ BC (E khác B và C). Hai dây AE

Vẽ hình đúng đến câu aa)Ta có \[CD \bot AB\] tại I nên \[\widehat {KIB} = 90^\circ \]
Vì \(\Delta KIB\) vuông tại I nên ba điểm K, I, B thuộc đường tròn đường kính KB (1) Xét (O) có \[\widehat {AEB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \[\widehat {KEB} = 90^\circ \]\(\Delta KEB\)vuông tại E nên ba điểm K, E, B thuộc đường tròn đường kính KB (2)Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm K, E, B, I cùng thuộc đường tròn đường kính KBb)Chứng minh được K là trực tâm, suy ra \(AP \bot BK\)Chỉ ra được điểm Q thuộc đường tròn (O)
Chỉ ra được: \[\widehat {PEA} = \widehat {PQB} = 90^\circ \]
Xét \[\Delta PEA\] và \[\Delta PQB\] có
\[\widehat {QPB} = \widehat {EPA}\]
\[\widehat {PEA} = \widehat {PQB} = 90^\circ \,\,(cmt)\]
Suy ra,
Do đó \[\frac{{PE}}{{PQ}} = \frac{{PA}}{{PB}}\] hay \[PA.PQ = PE.PB\] (đpcm).c)Xét \[\Delta PEK\] vuông tại E có EJ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền PK nên JK = JE = JP
Suy ra cân tại J
Nên \[\widehat {JPE} = \widehat {JEP}\]
Vì \[\Delta OEB\] cân tại O (\[OE = OB = R\]) nên \[\widehat {OBE} = \widehat {OEB}\]
Xét \[\Delta PIB\] vuông tại I có \[\widehat {IBP} + \widehat {IPB} = 90^\circ \]
Hay \[\widehat {JPE} + \widehat {OBE} = 90^\circ \] suy ra \[\widehat {JEO} = 90^\circ \]
Vạy JE là tiếp tuyến của (O)Chứng minh: \[KM\,{\rm{//}}\,IF\] Gọi H là trực tâm \[\Delta PQE\]
Chứng minh tứ giác QHEK là hình bình hành
Suy ra K, M, H thẳng hàng
Chứng minh nên \[\frac{{PI}}{{PF}} = \frac{{PA}}{{PE}}\]
Chứng minh nên \[\frac{{PK}}{{PH}} = \frac{{PA}}{{PE}}\]
Suy ra \[\frac{{PH}}{{PF}} = \frac{{PK}}{{PI}}\]
Áp định lí Thalès đảo trong \[\Delta PIF\] suy ra \[KH\,{\rm{//}}\,IF\] hay \[KM\,{\rm{//}}\,IF\](đpcm)