Cho đường tròn ( O ; R ) có hai đường kính AB và CD vuông góc tại O . Gọi I là trung điểm của OB . Tia CI cắt đường tròn ( O ) tại E . Gọi H là giao điểm của AE và CD

a)     Gọi \(J\)  là trung điểm của \(ID\)

+) \(AB \bot CD\) tại \(O\), mà \(I \in OB\)

Suy ra \[\widehat {IOD} = {90^0}\]\[ \Rightarrow \Delta IOD\]vuông tại \(O\),

từ đó suy ra \[JO = JI = JD\](1)

+) Chứng minh: \[\widehat {IED} = {90^0}\]\[ \Rightarrow \Delta IED\]vuông tại \(E\),

từ đó suy ra JI = JE = JD (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn

b) +) Chứng minh: \[\Delta AHO\# \Delta ABE\] (g.g)

+) Suy ra: \[AH \cdot AE = AO \cdot AB = R \cdot 2R = 2{R^2}\]

+) Suy ra: \[\frac{{OA}}{{OH}} = \frac{{AE}}{{BE}}\]

+) Mà \(EI\) là tia phân giác của góc \(AEB\) nên suy ra:

 \[\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{\frac{3}{2}R}}{{\frac{1}{2}R}} = 3\]

+) Suy ra: \[\frac{{OA}}{{OH}} = 3\], do đó \[OA = 3.OH\]

c) +) Chứng minh được: \[OD = 3.OH\] suy ra \[HD = \frac{2}{3}OD\]

+) Suy ra: \(H\) là trọng tâm \[\Delta ABD\]

+) Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(BD\)

Suy ra: \(A,\,H,\,K,\,E\) thẳng hàng

+) Suy ra: \(K\) là trực tâm của \[\Delta ABQ\]

+) Suy ra: \(KQ\) vuông góc \(AB\)

+) Chứng minh được: \(KI\)  vuông góc \(AB\)

+) Suy ra: \(Q,\,K,\,I\) thẳng hàng