Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có :  AHE^=900

AKB^=900  ⇒AHE^+AKB^=1800                  (1)

Hai góc AHE^,AKB^ đối nhau           (2)

Từ (1), (2) ta có tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

Do tứ giác AHEK nội tiếp nên   HAK^=KEN^   

vì  chung và HAK^=KEN^   AHC^=EKC^=900     

nên CKCH=CECA⇔CK.CA=CH.CE

c)Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

            Do KB // FN nên    EKN^=KNF^,MKB^=KFN^                       (3)

mà MKB^=EKN^ (góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau)      (4)

(3), (4) ⇒KNF^=KFN^  nên tam giác KFN cân tại K.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Ta có  vuông tại K.

mà KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K ⇒KEC^=450

OAK^=OKA^=KEC^=450⇒AOK^=900 hay

mà MN⊥AB nên OK //MN